Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2d (6 BE)

Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide sowie den Inhalt ihrer Oberfläche.

Lösung zu Teilaufgabe 2d

Volumen einer Pyramide

F (2 | 1 | 3), S (6 | 3 | 7)

(siehe Teilaufgabe 2c)

\vec{F S} = (\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{matrix})

Höhe

h

der Pyramide bestimmen:

\Rightarrow h = \bar{F S} = | \vec{F S} | = \sqrt{{(\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{4^{2} + 2^{2} + 4^{2}} = \sqrt{36} = 6

\bar{A B} = 6

(siehe Teilaufgabe 2b)

Grundfläche

G

der Pyramide bestimmen:

\Rightarrow G = A_{A B C D} = {\bar{A B}}^{2} = 6^{2} = 36

Volumen der Pyramide bestimmen:

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 6 = 72

Oberfläche einer Pyramide

Höhe

h_{S}

des Dreiecks

B S C

(bzw. Hypothenuse des Dreiecks

S F S^{'}

)bestimmen:

h_{S} = \sqrt{h^{2} + {\bar{F S^{'}}}^{2}} = \sqrt{6^{2} + 3^{2}} = \sqrt{45}

Oberfläche

O

bestimmen:

O = G + 4 \cdot △ = 36 + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{45} = 36 + 12 \sqrt{45}

O = 36 + 12 \cdot 3 \sqrt{5}

O = 36 + 36 \sqrt{5}

\Rightarrow O = 36 \cdot (1 + \sqrt{5})

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 2a

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Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Teilaufgabe 2e

Teilaufgabe 2f

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Themen dieser Aufgabe:

Volumen einer Pyramide

Oberfläche einer Pyramide

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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