Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2b (5 BE)

Weisen Sie nach, dass das Dreieck

A B C

gleichschenklig rechtwinklig ist, und ermitteln Sie die Koordinaten eines Punkts

D

so, dass das Viereck

A B C D

ein Quadrat ist.

Lösung zu Teilaufgabe 2b

Lage des Vektors

A (5 | 1 | 0)

B (1 | 5 | 2)

C (- 1 | 1 | 6)

\vec{A B} = (\begin{matrix} - 4 \\ 4 \\ 2 \end{matrix})

\vec{B C} = (\begin{matrix} - 2 \\ - 4 \\ 4 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt zwischen

\vec{A B}

und

\vec{B C}

bilden:

\vec{A B} \cdot \vec{B C} = (\begin{matrix} - 4 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ - 4 \\ 4 \end{matrix}) = (- 4) \cdot (- 2) + 4 \cdot (- 4) + 2 \cdot 4 = 8 - 16 + 8 = 0

\Rightarrow

Das Dreieck

A B C

ist rechtwinklig

Länge eines Vektors

Länge der Seiten

[A B]

und

[B C]

bestimmen:

\bar{A B} = | \vec{A B} | = \sqrt{{(\begin{matrix} - 4 \\ 4 \\ 2 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{(- 4)^{2} + 4^{2} + 2^{2}} = \sqrt{36} = 6

\bar{B C} = | \vec{B C} | = \sqrt{{(\begin{matrix} - 2 \\ - 4 \\ 4 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{(- 2)^{2} + (- 4)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{36} = 6

\Rightarrow \bar{A B} = \bar{B C}

\Rightarrow

Das Dreieck

A B C

ist gleichschenklig

Lage eines Punktes

Punkt D bestimmen:

\vec{O D} = \vec{O A} + \vec{B C} = (\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 2 \\ - 4 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ - 3 \\ 4 \end{matrix})

\Rightarrow D (3 | - 3 | 4)

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Lösungen zu:

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Teilaufgabe 2d

Teilaufgabe 2e

Teilaufgabe 2f

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Themen dieser Aufgabe:

Lage des Vektors

Länge eines Vektors

Lage eines Punktes

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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