Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2c (4 BE)

Das Quadrat

A B C D

als Grundfläche bildet zusammen mit einem Punkt

S

als Spitze eine vierseitige Pyramide

A B C D S

. Der Punkt

S

liegt dabei auf der Geraden

g

und ist so gewählt, dass die Pyramide gerade ist, das heißt, der Fußpunkt

F

der Pyramidenhöhe ist gleichzeitig der Diagonalenschnittpunkt des Quadrats.

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte

F

und

S

.
[Zur Kontrolle:

S (6 | 3 | 7)

]

Lösung zu Teilaufgabe 2c

Lage eines Punktes

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

A (5 | 1 | 0)

C (- 1 | 1 | 6)

\vec{A C} = (\begin{matrix} - 6 \\ 0 \\ 6 \end{matrix})

Punkt

F

bestimmen:

\vec{O F} = \vec{O A} + \frac{1}{2} \cdot \vec{A C} = (\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + \frac{1}{2} \cdot (\begin{matrix} - 6 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix})

\Rightarrow F (2 | 1 | 3)

Geradengleichung aufstellen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

E_{2} : 2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} - 11 = 0 \Leftrightarrow E_{2}^{N} : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) - 11 = 0

{\vec{n}}_{E_{2}} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

Normalenvektor der Ebene

E_{2}

Gerade

l

durch

F

senkrecht zu

A B C D

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Geradengleichung

Eine Gerade

l

ist durch einen Ortsvektor

\vec{x_{0}}

und einen Richtungsvektor

\vec{a}

eindeutig bestimmt:

l : \vec{x} = \vec{x_{0}} + μ \cdot \vec{a}, μ \in ℝ

In diesem Fall soll die Grade

l

senkrecht zur Grundfläche

A B C D

verlaufen. Da die Grundfläche in der Ebene

E_{2}

liegt (siehe Teilaufgabe 2a) wird die Richtung der Geraden durch den Normalenvektor der Ebene gegeben.

\Rightarrow l : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

Schnitt zweier Geraden

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g : \vec{x} = (\begin{matrix} - 8 \\ - 1 \\ 5 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

Schnittpunkt

S

bestimmen:

l \cap g

l \cap g :

\begin{matrix} 1 . \\ 2 . \\ 3 . \end{matrix}

\begin{matrix} 2 + 2 μ & = & - 8 + 7 λ \\ 1 + μ & = & - 1 + 2 λ \\ 3 + 2 μ & = & 5 + λ \end{matrix}

2.Gleichung mit

- 2

multiplizieren und dann zur 1.Gleichung addieren:

0 = - 6 + 3 λ

\Rightarrow λ = 2

λ = 2

in die 2.Gleichung einsetzen:

1 + μ = - 1 + 4

\Rightarrow μ = 2

Überprüfen der Ergebnisse durch Einsetzen von

λ

und

μ

in die 3.Gleichung:

3 + 4 = 5 + 2

wahre Aussage

λ = 2

g

einsetzen:

\vec{O S} = (\begin{matrix} - 8 \\ - 1 \\ 5 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 7 \end{matrix})

\Rightarrow S (6 | 3 | 7)

Spitze der Pyramide

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Teilaufgabe 2e

Teilaufgabe 2f

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Lage eines Punktes

Geradengleichung aufstellen

Schnitt zweier Geraden

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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