Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik GK Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 5 (5 BE)

Die SMV eines Gymnasiums möchte den Anteil der Raucherinnen unter den Schülerinnen der Mittelstufe an der eigenen Schule ermitteln. Sie führt deshalb eine Befragung durch. Dabei wird die so genannte Dunkelfeldmethode verwendet, die durch eine Anonymisierung der Daten ehrliche Antworten gewährleisten soll.
Bei dieser Methode zieht die Befragte zufällig eine der drei abgebildeten, verdeckt liegenden Karten und beantwortet die Frage wahrheitsgemäß mit "Ja" oder "Nein". Der Interviewer notiert nur diese Antwort, ohne zu wissen, welche Karte jeweils gezogen wurde.

Von 357 auf diese Weise befragten Mädchen haben 138 mit "Ja" geantwortet. Bestimmen Sie den Schätzwert für den Anteil der Raucherinnen unter den Schülerinnen, der sich aus diesen Angaben herleiten lässt.

Lösung zu Teilaufgabe 5

Wahrscheinlichkeit

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Ereignis

J A

: "Schülerin hat mit JA geantwortet"
Ereignis

N E I N

: "Schülerin hat mit NEIN geantwortet"
Ereignis

K

: "Karte mit Kreis"
Ereignis

D

: "Karte mit Dreieck"
Ereignis

R

: "Karte mit Raucher-Frage"

| Ω | = 357

(Anzahl befragter Schülerinnen)

| J A | = 138

(Anzahl Schülerinnen die mit JA geantwortet haben)

P (J A) = \frac{| J A |}{| Ω |} = \frac{138}{357}

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P (K) = P (D) = P (R) = \frac{1}{3}

Schritt einblenden / ausblenden

P (J A nach K) = 1

P (N E I N nach K) = 0

Schritt einblenden / ausblenden

P (J A nach D) = 0

P (N E I N nach D) = 1

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Anzahl der Raucher unter den Schülerinnen ist unbekannt.
Die unbekannte Variable

x

steht für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Schülerin mit JA antwortet auf die Raucher-Frage.

P (J A nach R) = x

P (N E I N nach R) = 1 - x

Aus obigen Daten kann folgendes Baumdiagramm erstellt werden:

Schritt einblenden / ausblenden

1. Pfadregel

In einem Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades.

P (K \cap J A) = \underset{\frac{1}{3}}{\underset{︸}{P (K)}} \cdot \underset{1}{\underset{︸}{P (J A nach K)}} = \frac{1}{3}

P (D \cap J A) = \underset{\frac{1}{3}}{\underset{︸}{P (D)}} \cdot \underset{0}{\underset{︸}{P (J A nach D)}} = 0

P (R \cap J A) = \underset{\frac{1}{3}}{\underset{︸}{P (R)}} \cdot \underset{x}{\underset{︸}{P (J A nach R)}} = \frac{1}{3} \cdot x

P (K \cap J A) = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}

P (D \cap J A) = \frac{1}{3} \cdot 0 = 0

P (R \cap J A) = \frac{1}{3} \cdot x

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2. Pfadregel

In einem Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich der Summe der für dieses Ereignis zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten.

P (J A) = P (K \cap J A) + P (D \cap J A) + P (R \cap J A)

\Rightarrow P (J A) = P (K \cap J A) + P (D \cap J A) + P (R \cap J A) = \frac{1}{3} + 0 + \frac{1}{3} \cdot x

\Rightarrow \frac{138}{357} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot x | \cdot 3

\frac{138}{119} = 1 + x | - 1

\frac{19}{119} = x

\Rightarrow x = \frac{19}{119} = 16, 0 %

\Rightarrow

Der Schätzwert für den Anteil der Raucherinnen unter den Schülerinnen beträgt

16, 0 %

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Wahrscheinlichkeit

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