Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik GK Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 4 (6 BE)

Es wird angezweifelt, dass der Anteil der Befürworter des Rauchverbots derzeit noch

67 %

beträgt. Vielmehr wird vermutet, dass der Prozentsatz gegenwärtig höchstens bei

60 %

liegt. Um diese Vermutung zu testen, wird eine Befragung von 100 zufällig ausgewählten Personen durchgeführt.
Wie muss die Entscheidungsregel mit einem möglichst großen Ablehnungsbereich lauten, wenn die Vermutung mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens

5 %

irrtümlich abgelehnt werden soll?

Lösung zu Teilaufgabe 4

Hypothesentest - Fehler erster Art

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

n = 100

Schritt einblenden / ausblenden

Hypothesentest

Vermutung: "Prozentsatz liegt gegenwärtig höchstens bei

60 %

\Rightarrow

Nullhypothese

H_{0}

p_{0} \leq 0, 60

\Rightarrow

Alternative

H_{1}

p_{1} = 0, 67

p_{0} \leq 0, 60

p_{1} = 0, 67

Entscheidungsregel:

Schritt einblenden / ausblenden

Fehler 1° Art

Die Vermutung soll irrtümlich mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens

5 %

verworfen werden.

Das ist der Fall wenn

H_{0}

stimmt, aber man sich im Bereich

H_{1}

befindet, also

Z \geq k + 1

. Da

H_{0}

stimmt, rechnet man mit der Wahrscheinlichkeit

p_{0}

\Rightarrow

Fehler 1° Art:

P_{0, 60}^{100} (Z \geq k + 1) \leq 0, 05

Man spricht von "Fehler 1° Art" wenn die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird.

P_{0, 60}^{100} (Z \geq k + 1) \leq 0, 05

Schritt einblenden / ausblenden

Gegenereignis

Ansatz:

Betrachtung des Gegenereignisses:

P (mindestes k + 1 Treffer) = 1 - P (höchstens k Treffer)

In mathematischen Zeichen:

P (Z \geq k + 1) = 1 - P (Z \leq k)

\Leftrightarrow 1 - P_{0, 60}^{100} (Z \leq k) \leq 0, 05

\Leftrightarrow P_{0, 60}^{100} (Z \leq k) \geq 0, 95

\Rightarrow k \geq 68

(Wert wird im Tafelwerk abgelesen)

Die Entscheidungsregel lautet somit:

Ablehnungsbereich für

p_{0} \leq 0, 60 : {69, 70, \dots, 100}

Bemerkung:

Der Ablehnungsbereich kann auch für

k > 68

gewählt werden, also beispielsweise für

k = 75

.
Mit der Wahl von

k \geq 68

gibt man den größtmöglichen Ablehnungsbereich an, so wie es von der Aufgabenstellung verlangt wird.

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Teilaufgabe 2e

Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Teilaufgabe 4

Teilaufgabe 5

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Hypothesentest - Fehler erster Art

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!