Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 4.1 (7 BE)

Ein Doppelrundbogenfenster (siehe Zeichnung) wird von drei Seiten eines Rechtecks sowie von zwei Halbkreisen (jeweils Radius

r

) begrenzt. Der Umfang des Fensters beträgt

10

m. (Auf Einheiten wird in der Rechnung verzichtet!)

Stellen Sie den Flächeninhalt

A (r)

des Fensters in Abhängigkeit vom Radius

r

der Halbkreise dar und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge

D_{A}

an.
[Teilergebnis:

A (r) = 20 r - (3 π + 8) \cdot r^{2}

]

Lösung zu Teilaufgabe 4.1

Flächenberechnung

A_{Fenster} = A_{Rechteck} + A_{Kreis}

A_{Rechteck} = l \cdot b = 4 r \cdot b

A_{Kreis} = r^{2} π

\Rightarrow

A_{Fenster} = 4 r \cdot b + r^{2} π

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Der Umfang des Fensters setzt sich zusammen aus:

U_{Fenster} = 2 b + l + \underset{U_{Kreis}}{\underset{︸}{2 \cdot U_{Halbkreis}}}

Mit

l = 4 r

und

U_{Kreis} = 2 r π

ist der Umfang gleich:

U_{Fenster} = 2 b + 4 r + 2 r π

U_{Fenster} = 2 b + 4 r + 2 r π

U_{Fenster} = 10

10 = 2 b + 4 r + 2 r π

\Rightarrow

b = 5 - 2 r - r π

A_{Fenster}

eingesetzt:

A (r) = 4 r \cdot (5 - 2 r - r π) + r^{2} π

A (r) = 20 r - 8 r^{2} - 4 r^{2} π + r^{2} π

A (r) = - 3 r^{2} π - 8 r^{2} + 20 r

A (r) = 20 r - (3 π + 8) \cdot r^{2}

Definitionsbereich bestimmen

Sinnvoll:

b > 0

r > 0

5 - 2 r - r π > 0

5 > 2 r + r π

5 > r \cdot (2 + π)

| : (2 + π)

\Rightarrow

r < \frac{5}{2 + π}

\Rightarrow

D_{A} =] 0; \frac{5}{2 + π} [

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Flächenberechnung

Definitionsbereich bestimmen

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