Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2.4 (6 BE)

Der Graph

G_{h}

, die

y

-Achse und die Tangente im Hochpunkt des Graphen schließen eine im I. Quadranten liegende Fläche ein. Kennzeichnen Sie diese Fläche im Koordinatensystem von Aufgabe 2.3 und berechnen Sie ihren Inhalt.

Lösung zu Teilaufgabe 2.4

Skizze

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Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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E (3 | 6, 75)

Hochpunkt

\Rightarrow

g (x) = 6, 75

ist Tangente im Hochpunkt

Schritt einblenden / ausblenden

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

Verläuft der Graph einer Funktion

f

oberhalb dem Graphen einer Funktion

g

, so ist der Inhalt eines Flächenstücks zwischen den zwei Funktionsgraphen

G_{f}

und

G_{g}

gegeben durch:

A = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) dx

Sind die Integrationsgrenzen

a

und

b

nicht explizit vorgegeben, so verwendet man hierfür die Schnittpunkte der beiden Graphen

G_{f}

und

G_{g}

A = \int_{0}^{3} (g (x) - h (x)) dx

A = \int_{0}^{3} (6, 75 - (- \frac{1}{4} x^{4} + x^{3})) dx

A = \int_{0}^{3} (\frac{1}{4} x^{4} - x^{3} + 6, 75) dx

Schritt einblenden / ausblenden

Stammfunktion

Rechenregeln für Integrale

Benötigte Regel zur Bildung der Stammfunktion von

\frac{1}{4} x^{4} - x^{3} + 6, 75

(siehe auch Merkregel Mathematik):

\int x^{r} dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C

(r \neq - 1)

\Rightarrow

\int (\frac{1}{4} x^{4} - x^{3} + 6, 75) dx = \frac{1}{4} \frac{x^{4 + 1}}{4 + 1} - \frac{x^{3 + 1}}{3 + 1} + 6, 75 \frac{x^{0 + 1}}{0 + 1} = \frac{x^{5}}{20} - \frac{x^{4}}{4} + 6, 75 x

A = {[\frac{1}{20} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + 6, 75 x]}_{0}^{3}

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) dx = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

A = \frac{1}{20} \cdot 3^{5} - \frac{1}{4} \cdot 3^{4} + 6, 75 \cdot 3 - 0

A = \frac{243}{20} = 12, 15

FE (Flächeneinheiten)

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