Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3 (9 BE)

Gegeben ist nun die reelle Funktion

g : x \mapsto {\begin{matrix} 2 x^{2} + 8 x + \frac{19}{4} & für x < - 1 \\ h (x) & für x \geq - 1 \end{matrix}

Begründen Sie rechnerisch, dass die Funktion

g

an der Stelle

x_{0} = - 1

stetig und differenzierbar ist, und zeichnen Sie den Graphen dieser Funktion im Bereich

- 4 \leq x \leq 4, 2

mit Farbe in das vorhandene Koordinatensystem ein.

Lösung zu Teilaufgabe 3

Stetigkeit einer Funktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

g (x) = {\begin{matrix} 2 x^{2} + 8 x + \frac{19}{4} & für x < - 1 \\ - \frac{1}{4} x^{4} + x^{3} & für x \geq - 1 \end{matrix}

Schritt einblenden / ausblenden

Stetigkeit einer Funktion

Untersucht man eine Funktion

g (x)

auf Stetigkeit an der Stelle

x_{0}

, so müssen folgende Grenzwerte gebildet werden:

\begin{matrix} lim_{x \to x_{0}^{+}} g (x) & (rechtsseitiger Grenzwert) \\ lim_{x \to x_{0}^{-}} g (x) & (linksseitiger Grenzwert) \end{matrix}

Beim rechtsseitigen Grenzwert nähert man sich

x_{0}

von rechts.
Ist

g (x)

abschnittsweise definiert, so muss die Teilfunktion betrachtet werden, die für

x > x_{0}

definiert ist.

Beim linksseitigen Grenzwert nähert man sich

x_{0}

von links.
Ist

g (x)

abschnittsweise definiert, so muss die Teilfunktion betrachtet werden, die für

x < x_{0}

definiert ist.

lim_{x \to - 1^{-}} g (x) = lim_{x \to - 1^{-}} (2 x^{2} + 8 x + \frac{19}{4}) = - \frac{5}{4}

lim_{x \to - 1^{+}} g (x) = lim_{x \to - 1^{+}} (- \frac{1}{4} x^{4} + x^{3}) = - \frac{5}{4}

g (- 1) = - \frac{1}{4} (- 1)^{4} + (- 1)^{3} = - \frac{5}{4}

Schritt einblenden / ausblenden

Stetigkeit einer Funktion

Eine Funktion

f

ist genau dann an der Stelle

x_{0}

stetig, wenn der Funktionswert an dieser Stelle sowohl mit dem links- als auch mit dem rechtsseitigem Grenzwert identisch ist, d.h. wenn gilt:

f (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x)

Der Graph der Funktion

f

hat an der Stelle

x_{0}

keinen Sprung.

\Rightarrow

g

ist an der Stelle

x_{0} = - 1

stetig.

Differenzierbarkeit einer Funktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Erste Ableitung

g^{'} (x)

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Ableitung einer abschnittsweise definierten Funktion

Eine abschnittsweise definierte Funktion wird auch abschnittsweise abgeleitet. Man bildet die Ableitungen der Teilfunktionen:

g (x) = {\begin{matrix} u (x) \\ v (x) \end{matrix}

\begin{matrix} für x < x_{0} \\ für x \geq x_{0} \end{matrix}

g^{'} (x) = {\begin{matrix} u^{'} (x) \\ v^{'} (x) \end{matrix}

\begin{matrix} für x < x_{0} \\ für x \geq x_{0} \end{matrix}

Ist

g

an der Stelle

x_{0}

nicht differenzierbar oder ist nicht bekannt, ob

g

bei

x_{0}

differenzierbar ist, muss

x_{0}

bei der Ableitung ausgeschlossen werden:

g^{'} (x) = {\begin{matrix} u^{'} (x) \\ v^{'} (x) \end{matrix}

\begin{matrix} für x < x_{0} \\ für x > x_{0} \end{matrix}

g^{'} (x) = {\begin{matrix} 4 x + 8 & für x < - 1 \\ - x^{3} + 3 x^{2} & für x > - 1 \end{matrix}

Prüfen, ob

g

an der Stelle

x_{0} = - 1

differenzierbar ist:

Schritt einblenden / ausblenden

Linksseitiger/Rechtsseitiger Grenzwert

Untersucht man eine Funktion

g (x)

auf Differenzierbarkeit an der Stelle

x_{0}

, so müssen folgende Grenzwerte gebildet werden:

\begin{matrix} lim_{x \to x_{0}^{+}} g^{'} (x) & (rechtsseitiger Grenzwert) \\ lim_{x \to x_{0}^{-}} g^{'} (x) & (linksseitiger Grenzwert) \end{matrix}

Beim rechtsseitigen Grenzwert nähert man sich

x_{0}

von rechts.
Ist

g^{'} (x)

abschnittsweise definiert, so muss die Teilfunktion betrachtet werden, die für

x > x_{0}

definiert ist.

Beim linksseitigen Grenzwert nähert man sich

x_{0}

von links.
Ist

g^{'} (x)

abschnittsweise definiert, so muss die Teilfunktion betrachtet werden, die für

x < x_{0}

definiert ist.

lim_{x \to - 1^{-}} g^{'} (x) = lim_{x \to - 1^{-}} (4 x + 8) = 4

lim_{x \to - 1^{+}} g^{'} (x) = lim_{x \to - 1^{+}} (- x^{3} + 3 x^{2}) = 4

Schritt einblenden / ausblenden

Differenzierbarkeit einer Funktion

Eine Funktion

f

ist genau dann in

x_{0}

differenzierbar, wenn gilt:

1.

G_{f}

ist in

x_{0}

stetig

2.

lim_{x \to x_{0}^{-}} f^{'} (x) = lim_{x \to x_{0}^{+}} f^{'} (x)

Anders ausgedrückt:

Eine Funktion

f

ist genau dann in

x_{0}

differenzierbar, wenn es an dieser Stelle eine eindeutige Tangente an den Graphen gibt.
Dies ist nur der Fall, wenn der Graph an dieser Stelle weder einen Sprung noch einen Knick aufweist.

\Rightarrow

g

ist an der Stelle

x_{0} = - 1

differenzierbar.

Skizze

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Teilaufgabe 2.4

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Teilaufgabe 4.1

Teilaufgabe 4.2

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Stetigkeit einer Funktion

Differenzierbarkeit einer Funktion

Skizze

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