Abitur 2008 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

Gegeben ist die reelle Funktion

f_{k} : x \mapsto - \frac{k^{2}}{16} x^{4} + \frac{k}{2} x^{3}

mit

k \in ℝ \land k > 0

und

D_{f_{k}} = ℝ

.
Der Graph wird mit

G_{f_{k}}

bezeichnet.

Teilaufgabe 1.1 (5 BE)

Bestimmen Sie Lage und Vielfachheit der Nullstellen der Funktion

f_{k}

. Untersuchen Sie den Graphen

G_{f_{k}}

auf Symmetrie.

Teilaufgabe 1.2 (8 BE)

Ermitteln Sie Art und Koordinaten des relativen Extrempunktes des Graphen

G_{f_{k}}

. Begründen Sie dann, dass dieser Extrempunkt für jeden Wert von

k

auf der Parabel mit der Gleichung

y = \frac{3}{4} x^{2}

liegt.
[Teilergebnis:

x_{E} = \frac{6}{k}

]

Gegeben ist nun die reelle Funktion

h : x \mapsto - \frac{1}{4} x^{4} + x^{3}

mit

D_{h} = ℝ

. Der Graph dieser Funktion wird

G_{h}

genannt.

Teilaufgabe 2.1 (7 BE)

Begründen Sie kurz, dass

h (x) = f_{2} (x)

gilt und berechnen Sie dann für

k \neq 2

die

x

-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen

G_{f_{k}}

und

G_{h}

Teilaufgabe 2.2 (6 BE)

Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte von

G_{h}

. Begründen Sie auch, ob einer dieser Wendepunkte ein Terrassenpunkt ist.

Teilaufgabe 2.3 (6 BE)

Geben Sie die Nullstellen sowie die Koordinaten des Extrempunktes von

G_{h}

an und zeichnen Sie mit Hilfe vorliegender Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte den Graphen

G_{h}

im Bereich

- 1, 5 \leq x \leq 4, 2

auf ein gesondertes DIN-A4-Blatt. (Koordinatenursprung auf der Seitenmitte, Maßstab auf beiden Achsen:

1

= 1

cm)

Teilaufgabe 2.4 (6 BE)

Der Graph

G_{h}

, die

y

-Achse und die Tangente im Hochpunkt des Graphen schließen eine im I. Quadranten liegende Fläche ein. Kennzeichnen Sie diese Fläche im Koordinatensystem von Aufgabe 2.3 und berechnen Sie ihren Inhalt.

Teilaufgabe 3 (9 BE)

Gegeben ist nun die reelle Funktion

g : x \mapsto {\begin{matrix} 2 x^{2} + 8 x + \frac{19}{4} & für x < - 1 \\ h (x) & für x \geq - 1 \end{matrix}

Begründen Sie rechnerisch, dass die Funktion

g

an der Stelle

x_{0} = - 1

stetig und differenzierbar ist, und zeichnen Sie den Graphen dieser Funktion im Bereich

- 4 \leq x \leq 4, 2

mit Farbe in das vorhandene Koordinatensystem ein.

Ein Doppelrundbogenfenster (siehe Zeichnung) wird von drei Seiten eines Rechtecks sowie von zwei Halbkreisen (jeweils Radius

r

) begrenzt. Der Umfang des Fensters beträgt

10

m. (Auf Einheiten wird in der Rechnung verzichtet!)

Teilaufgabe 4.1 (7 BE)

Stellen Sie den Flächeninhalt

A (r)

des Fensters in Abhängigkeit vom Radius

r

der Halbkreise dar und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge

D_{A}

an.
[Teilergebnis:

A (r) = 20 r - (3 π + 8) \cdot r^{2}

]

Teilaufgabe 4.2 (6 BE)

Berechnen Sie auf 3 Nachkommastellen genau denjenigen Wert von

r

, für den der Flächeninhalt des Fensters seinen größten Wert annimmt. Wie viel Prozent des Inhalts nimmt in diesem Fall der rechteckige Teil des Fensters ein?

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1.1

Teilaufgabe 1.2

Teilaufgabe 2.1

Teilaufgabe 2.2

Teilaufgabe 2.3

Teilaufgabe 2.4

Teilaufgabe 3

Teilaufgabe 4.1

Teilaufgabe 4.2

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