Lösung Abitur Bayern 2007 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2b (4 BE)

Zeigen Sie, dass der Punkt

R (3 | 6 | - 1)

auf dem Schnittkreis

k_{s}

liegt, und stellen Sie eine Gleichung der Tangentialebene

T

auf, die die Kugel

K

im Punkt

R

berührt.

[mögliches Teilergebnis:

T : x_{1} + 2 x_{2} - 2 x_{3} - 17 = 0

]

Lösung zu Teilaufgabe 2b

Abstand Punkt - Ebene

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Liegt

R (3 | 6 | - 1)

auf dem Schnittkreis

k_{s}

, dann insbesondere auch auf der Ebene

E_{- 1} : \vec{x} (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) - 1 = 0

Zu zeigen:

R \in E_{- 1}

(\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) - 1 = 0 \Rightarrow R

erfüllt die Ebenengleichung

\Rightarrow R \in E_{- 1}

Lagebeziehung Punkt und Kugel

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Liegt

R (3 | 6 | - 1)

auf dem Schnittkreis

k_{s}

, dann insbesondere auch auf der Kugel

K : {(\vec{x} - (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}))}^{2} = 36

Zu zeigen:

R \in K

{[(\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ - 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})]}^{2} = {(\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ - 4 \end{matrix})}^{2} = 36 \Rightarrow R

erfüllt die Kugelgleichung

\Rightarrow R \in K

\Rightarrow

Der Punkt R liegt auf dem Schnittkreis

k_{s}

Ebene aus Punkt und Normalenvektor

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Die Tangentialebene

T

verläuft durch den Punkt

R

und steht senkrecht zur Kugel

K

{\vec{n}}_{T} = \vec{R M} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ - 4 \\ 4 \end{matrix}) \Rightarrow {\vec{n}}_{T} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Die Parameterform einer Ebene

E

lautet:

\vec{x} = \vec{x_{0}} + α \cdot \vec{a} + β \cdot \vec{b}

,

wobei

\vec{x_{0}}

der Ortsvektor ist.

Die Normalenform einer Ebene

E

entsteht durch Skalarprodukt mit dem Normalenvektor

\vec{n_{E}}

. Dieser steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

der Ebene

E

. Das Skalarprodukt zwischen 2 Vektoren, die senkrecht zueinander stehen, ist gleich

0

.

Es folgt also:

E : \vec{x} \cdot \vec{n_{E}} = (\vec{x_{0}} + α \cdot \vec{a} + β \cdot \vec{b}) \cdot \vec{n_{E}}

= \vec{x_{0}} \cdot \vec{n_{E}} + α \cdot \underset{= 0}{\underset{︸}{\vec{a} \cdot \vec{n_{E}}}} + β \cdot \underset{= 0}{\underset{︸}{\vec{b} \cdot \vec{n_{E}}}}

= \vec{x_{0}} \cdot \vec{n_{E}}

\Rightarrow T : \vec{x} \cdot \underset{{\vec{n}}_{T}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix})}} = \underset{{\vec{x}}_{0}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ - 1 \end{matrix})}} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix}) = 17

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Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Abstand Punkt - Ebene

Lagebeziehung Punkt und Kugel

Ebene aus Punkt und Normalenvektor

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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