Lösung Abitur Bayern 2007 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2a (6 BE)

Nun ist weiter die Kugel

K

mit dem Mittelpunkt

M (1 | 2 | 3)

und dem Radius

r = 6

gegeben. Die Scharebene

E_{- 1}

schneidet die Kugel

K

in einem Kreis

k_{s}

mit dem Mittelpunkt

N

und dem Radius

r_{s}

Berechnen Sie die Koordinaten von

N

und den Radius

r_{s}

.

[Ergebnis:

N (2 | 1 | 1); r_{s} = \sqrt{30}

]

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Schnitt Ebene und Gerade

K : {(\vec{x} - \underset{M}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})}})}^{2} = \underset{r^{2}}{\underset{︸}{36}}, E_{- 1} : \vec{x} \cdot \underset{{\vec{n}}_{E_{- 1}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})}} - 1 = 0

h

soll die Gerade sein die durch den Punkt M geht und senkrecht zur Ebene

E_{- 1}

steht:

\Rightarrow h : \vec{x} = \vec{O M} + τ \cdot {\vec{n}}_{E_{- 1}} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + τ \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

Wir schneiden nun die Gerade

h

mit der Ebene

E_{- 1}

(setzten dafür die Geradengleichung

h

in die Ebenengleichung ein):

h \cap E_{- 1} : [(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + τ \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = 1 \Rightarrow 7 + 6 τ = 1

\Rightarrow τ = - 1

τ

h

einsetzen ergibt:

N (2 | 1 | 1)

Um den Radius zu berechnen, betrachten wir das rechtwinklige Dreieck MNR und nutzen den Satz des Pythagoras aus:

r_{s}^{2} + {(\bar{M N})}^{2} = r^{2} \Leftrightarrow r_{s}^{2} + {[\sqrt{{(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix})}^{2}}]}^{2} = 36

\Rightarrow r_{s}^{2} + 6 = 36

\Rightarrow r_{s} = \sqrt{30}

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Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

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Themen dieser Aufgabe:

Schnitt Ebene und Gerade

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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