Lösung Abitur Bayern 2007 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1b (5 BE)

Die beiden Ebenen

E_{2}

und

E_{- 3}

schneiden sich in einer Geraden

g

.
Ermitteln Sie eine Gleichung von

g

in Parameterform und den Schnittwinkel der beiden Ebenen auf eine Dezimale gerundet.

[mögliches Teilergebnis:

g : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 3 \end{matrix}), λ \in ℝ

]

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Schnitt zweier Ebenen

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Gesucht ist

g : E_{2} \cap E_{- 3}

Aus Teilaufgabe 1a) wissen wir dass, die Punkte

P (1 | 2 | - 3)

und

Q (0 | 1 | 0)

auf beiden Ebenen

E_{2}

und

E_{- 3}

, also liegen sie auch auf der Schnittgeraden

g

\Rightarrow

Ortsvektor von

g : \vec{x_{0}} = \vec{P} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix})

\Rightarrow

Richtungsvektor von

g : \vec{a} = \vec{(P - Q)} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 3 \end{matrix})

\Rightarrow g : \vec{x} = \vec{x_{0}} + λ \vec{a} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 3 \end{matrix})

Winkel zwischen zwei Ebenen

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E_{2} : 2 x_{1} + 4 x_{2} + 2 x_{3} - 4 = 0 \Leftrightarrow E_{2} : \underset{{\vec{n}}_{E_{2}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix})}} \cdot \vec{x} = 4

E_{- 3} : - 3 x_{1} + 9 x_{2} + 2 x_{3} - 9 = 0 \Leftrightarrow E_{- 3} : \underset{{\vec{n}}_{E_{- 3}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} - 3 \\ 9 \\ 2 \end{matrix})}} \cdot \vec{x} = 9

Schritt einblenden / ausblenden

{\vec{n}}_{E_{2}} \cdot {\vec{n}}_{E_{- 3}} =

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

und

\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})

ergibt sich aus der Summe der Komponenten der Vektoren:

\vec{a} \cdot \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}

Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes folgt:

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | = \cos \underset{α}{\underset{︸}{∡ (\vec{a}, \vec{b})}}

\Rightarrow \cos α = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

= (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 9 \\ 2 \end{matrix}) = 34 = \underset{| {\vec{n}}_{E_{2}} |}{\underset{︸}{\sqrt{24}}} \cdot \underset{| {\vec{n}}_{E_{- 3}} |}{\underset{︸}{\sqrt{94}}} \cdot \cos α

\Rightarrow α = \arccos \frac{34}{\sqrt{24} \cdot \sqrt{94}} \approx

44,3°

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

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Themen dieser Aufgabe:

Schnitt zweier Ebenen

Winkel zwischen zwei Ebenen

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
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