Lösung Abitur Bayern 2007 Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2c (8 BE)

Während einer Hitzeperiode führt das

16 m

lange Kanalstück nur noch

45 %

der in Teilaufgabe 2b bestimmten Wassermenge.
Weisen Sie zunächst allgemein nach, dass zwischen der Wassertiefe

t

des Kanals und der zugehörigen Breite

b

der Wasseroberfläche – jeweils gemessen in

m

– folgender Zusammenhang besteht:

b = t + 8 m

.
Berechnen Sie anschließend die Wassertiefe des Kanals in der Hitzeperiode.

Lösung zu Teilaufgabe 2c

Nachweis der Gültigkeit einer gegebenen Beziehung

Zu zeigen:

b = t + 8 m

b = 2 x + 8 m

Schritt einblenden / ausblenden

Strahlensatz

Wird ein Strahl von zwei parallelen Geraden geschnitten, dann gelten folgende Beziehungen:

1)

\frac{\bar{O A}}{\bar{O C}} = \frac{\bar{O B}}{\bar{O D}}, \frac{\bar{O A}}{\bar{A C}} = \frac{\bar{O B}}{\bar{B C}}, \frac{\bar{O C}}{\bar{A C}} = \frac{\bar{O D}}{\bar{B D}}

\frac{\bar{A B}}{\bar{C D}} = \frac{\bar{O A}}{\bar{O C}}, \frac{\bar{A B}}{\bar{C D}} = \frac{\bar{O B}}{\bar{O D}}

In diesem Fall gilt also:

\frac{x}{2 m} \begin{matrix} 2) \\ = \end{matrix} \frac{t}{4 m}

Es gilt:

\frac{x}{2 m} = \frac{t}{4 m} \Rightarrow t = 2 x

\Rightarrow b = 2 x + 8 m = t + 8 m

Volumen eines Prismas

G^{'} = \frac{b + 8 m}{2} \cdot t = \frac{(8 m + t) + 8 m}{2} \cdot t = \frac{1}{2} t^{2} + 8 m \cdot t

Das Volmen des neuen Prismas ist gleich:

V_{Π^{'}} = G^{'} \cdot h_{Π} = (\frac{1}{2} t^{2} + 8 m \cdot t) \cdot 16 m = 128 m^{2} \cdot t + 8 m \cdot t^{2}

V_{Π^{'}} = \frac{45}{100} \cdot V_{Π} = \frac{45}{100} \cdot 640 m^{3} = 288 m^{3}

\Rightarrow

8 m \cdot t^{2} + 128 m^{2} \cdot t - 288 m^{3} = 0

t_{1, 2} = \frac{- 128 \pm \sqrt{128^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 288)}}{16}

\Rightarrow

t = 2 m

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Themen dieser Aufgabe:

Nachweis der Gültigkeit einer gegebenen Beziehung

Volumen eines Prismas

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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