Lösung Abitur Bayern 2007 Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1c (5 BE)

Der Punkt

A^{'}

ist der Schnittpunkt der Ebene

E

mit der

x_{2}

-Achse.
Berechnen Sie die Koordinaten von

A^{'}

. Weisen Sie nach, dass das Dreieck

D A A^{'}

rechtwinklig ist, und bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes

D^{'}

so, dass das Viereck

D A A^{'} D^{'}

ein Rechteck ist.
[Teilergebnis:

A^{'} (0 | 2 | 0)

]

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Schnitt Ebene und Gerade

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Gesucht ist

A^{'} : E \cap x_{2}

-Achse

E : 2 x_{2} - x_{3} - 4 = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

A^{'}

liegt auf der

x_{2}

-Achse, also sind die

x_{1}

und

x_{3}

Koordinaten von

A^{'}

gleich Null.

Setze

x_{1} = x_{3} = 0

E

ein:

2 x_{2} - 0 - 4 = 0 \Rightarrow x_{2} = 2

\Rightarrow A^{'} (0 | 2 | 0)

Nachweis - rechtwinkliges Dreieck

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

\vec{A A^{'}} = \vec{O A^{'}} - \vec{O A} = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 8 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 8 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

\vec{A D} = \vec{O D} - \vec{O A} = (\begin{matrix} 8 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 8 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

und

\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})

ergibt sich aus der Summe der Komponenten der Vektoren:

\vec{a} \cdot \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}

Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes folgt:

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | = \cos \underset{α}{\underset{︸}{∡ (\vec{a}, \vec{b})}}

\Rightarrow \cos α = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

\vec{A A^{'}} \cdot \vec{A D} = (\begin{matrix} - 8 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) = 0

Das Skalarprodukt von

\vec{A A^{'}}

und

\vec{A D}

ist Null, also liegen die zwei Vektoren senkrecht auf einander.

\Rightarrow △_{D A A^{'}}

ist rechtwinklig

Spiegelpunkt

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Spiegele den Punkt

A^{'}

an der

x_{1} x_{3}

-Ebene:

A^{'} (0 | 2 | 0) \Rightarrow D^{'} (0 | - 2 | 0)

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Schnitt Ebene und Gerade

Nachweis - rechtwinkliges Dreieck

Spiegelpunkt

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!