Lösung Abitur Bayern 2006 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2c (6 BE)

Der Inhalt

A_{t}

des ausgeschnittenen Rechtecks soll möglichst groß sein (Extremwertproblem).

Die unten stehende Abbildung zeigt einige Graphen der Scharfunktionen

A_{t}

. Beschreiben Sie, was aufgrund der Abbildung im Fall

0 < t < 1, 5

für die Lösung des Extremwertproblems zu vermuten ist. Beweisen Sie Ihre Vermutung rechnerisch.

Lösung zu Teilaufgabe 2c

Extremwertproblem

Die erste Ableitung von

A_{t} (x)

bilden:

{A_{t}}^{'} (x) = {(- t x^{3} + t x^{2} + (t - 2) x + 2 - t)}^{'} = - 3 t x^{2} + 2 t x + t - 2

Wo ist die Ableitung gleich 0?

x^{E} = \frac{- 2 t \pm \sqrt{4 t^{2} - 4 \cdot (- 3 t) \cdot (t - 2)}}{- 6 t} = \frac{- 2 t \pm \sqrt{4 t^{2} + 12 t^{2} - 24 t}}{- 6 t} = \frac{- 2 t \pm \sqrt{16 t^{2} - 24 t}}{- 6 t} = \frac{- 2 t \pm \sqrt{8 t (2 t - 3)}}{- 6 t}

Für welches t ist die Diskriminante größer 0?

8 t (2 t - 3) > 0 \Rightarrow 2 t - 3 > 0 \Rightarrow t > \frac{3}{2}

Aus der Abbildung erkennt man, dass die Graphen von

A_{t}

für

0 < t < 1, 5

streng monoton fallend sind. Sie weisen also keine Extrempunkte auf.

Eine Lösung des Extremwertproblems existiert nur für

t > 1, 5

.

Für

0 < t < 1, 5

ist

x = 0

die Stelle wo

A_{t} (x)

die maximale Steigung hat

\Rightarrow

A_{t}^{'} (0) = t - 2

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Themen dieser Aufgabe:

Extremwertproblem

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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