Abitur 2006 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

Gegeben ist die Funktion

f : x \mapsto (x - 1) \cdot \ln x

mit der Definitionsmenge

D_{f} = ℝ^{+}

. Der Graph von f wird mit

G_{f}

bezeichnet.
Hinweis:

\lim_{x \to 0 +} (x^{n} \cdot \ln x) = 0

, für

n \in ℕ

, darf ohne Beweis verwendet werden.

Teilaufgabe 1a (3 BE)

Geben Sie die Nullstellen von f an und untersuchen Sie das Verhalten von f an den Rändern der Definitionsmenge.

Teilaufgabe 1b (5 BE)

Weisen Sie nach, dass

G_{f}

an der Stelle

x = 1

einen Punkt mit waagrechter Tangente besitzt. Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von f.
[Zur Kontrolle:

f^{'} (x) = \ln x + 1 - \frac{1}{x}

]

Teilaufgabe 1c (5 BE)

Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von

G_{f}

. Berechnen Sie

f (3)

und skizzieren Sie

G_{f}

aufgrund der bisherigen Ergebnisse.

Teilaufgabe 1d (4 BE)

Begründen Sie, dass f im Intervall

] 0; 1]

umkehrbar ist. Geben Sie Definitions- und Wertemenge der zugehörigen Umkehrfunktion g an.
Bestimmen Sie

\lim_{x \to 0 +} g^{'} (x)

Teilaufgabe 1e (8 BE)

G_{f}

und die Koordinatenachsen begrenzen für

x \leq 1

ein Flächenstück, das sich ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück den endlichen Inhalt 0,75 hat.

Aus rechteckigen Kunststoffplatten von 1 Meter Breite und 2 Meter Höhe wurden Stücke abgeschnitten, wobei die Schnittkurve

p_{t}

Teil einer Parabel ist, die der Gleichung

y = t x^{2} + 2 - t

genügt. Für den Parameter t gilt:

o < t \leq 2

. In nebenstehender Skizze ist der Fall

t = 1, 6

dargestellt.

Teilaufgabe 2a (3 BE)

Zeigen Sie, dass jede Schnittkurve

p_{t}

durch den Punkt

(1 | 2)

verläuft.
Beschreiben Sie die Bewegung des Parabelscheitels, wenn t bei 2 beginnend alle Werte des Intervalls

] 0; 2]

durchläuft.

Aus der Restplatte werden Rechtecke - wie in der Skizze schraffiert dargestellt - ausgeschnitten. Je eine Seite des Rechtecks soll auf dem unteren bzw. auf dem rechten Rand der Platte zu liegen kommen, eine Ecke des Rechtecks soll auf der Schnittkurve liegen.

Teilaufgabe 2b (3 BE)

Zeigen Sie, dass für den Inhalt eines solchen Rechtecks gilt:

A_{t} (x) = - t x^{3} + t x^{2} + (t - 2) x + 2 - t (0 \leq x \leq 1)

Der Inhalt

A_{t}

des ausgeschnittenen Rechtecks soll möglichst groß sein (Extremwertproblem).

Teilaufgabe 2c (6 BE)

Die unten stehende Abbildung zeigt einige Graphen der Scharfunktionen

A_{t}

. Beschreiben Sie, was aufgrund der Abbildung im Fall

0 < t < 1, 5

für die Lösung des Extremwertproblems zu vermuten ist. Beweisen Sie Ihre Vermutung rechnerisch.

Teilaufgabe 2d (3 BE)

Im Fall

t = 1, 6

ist die erste Ableitung von

A_{t}

an den Stellen

x_{1} = \frac{1}{6}

und

x_{2} = \frac{1}{2}

gleich Null (Nachweis nicht erforderlich).
Bestätigen Sie durch Berechnung geeigneter Werte von

A_{t}

, dass für

t = 1, 6

zwei Rechtecke den maximalen Flächeninhalt aufweisen.

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Lösung als Video:

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!