Lösung Abitur Bayern 2006 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2a (3 BE)

Aus rechteckigen Kunststoffplatten von 1 Meter Breite und 2 Meter Höhe wurden Stücke abgeschnitten, wobei die Schnittkurve

p_{t}

Teil einer Parabel ist, die der Gleichung

y = t x^{2} + 2 - t

genügt. Für den Parameter t gilt:

o < t \leq 2

. In nebenstehender Skizze ist der Fall

t = 1, 6

dargestellt.

Zeigen Sie, dass jede Schnittkurve

p_{t}

durch den Punkt

(1 | 2)

verläuft.
Beschreiben Sie die Bewegung des Parabelscheitels, wenn t bei 2 beginnend alle Werte des Intervalls

] 0; 2]

durchläuft.

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Geometrischer Ort einer Kurvenschar

Der Punkt

(1 | 2)

erfüllt die Schnittkurvengleichung

p_{t} : y = t x^{2} + 2 - t

, denn:

2 = t \cdot 1^{2} + 2 - t \Leftrightarrow 2 = 2

Schritt einblenden / ausblenden

Scheitelform der Parabel

Die allgemeine Parabelgleichung lautet

y = a x^{2} + b x + c

.
Durch quadratische Ergänzung lautet die Gleichung

y = {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + (c - \frac{b^{2}}{4 a})

Der Scheitelpunkt S ist dann gleich

(- \frac{b}{2 a} | c - \frac{b^{2}}{4 a})

In diesem Fall:

a = t, b = 0, c = 2 - t

Scheitel S:

(0 | 2 - t)

Für

0 < t \leq 2

, t beginnend von 2, bewegt sich der Scheitel entlang der y-Achse von

(0 | 0)

nach

(0 | 2)

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Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

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Themen dieser Aufgabe:

Geometrischer Ort einer Kurvenschar

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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