Lösung Abitur Bayern 2006 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1e (8 BE)

G_{f}

und die Koordinatenachsen begrenzen für

x \leq 1

ein Flächenstück, das sich ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück den endlichen Inhalt 0,75 hat.

Lösung zu Teilaufgabe 1e

Skizze

Flächenberechnung

Das gesuchte Flächenstück (blau) FL ist gleich dem uneigentlichen Integral der Funktion f zwischen 0 und 1.

F L = \int_{0}^{1} f (x) ⅆ x = \lim_{a \to 0} \int_{a}^{1} f (x) ⅆ x =

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist F eine Stammfunktion von f dann gilt:

\int_{a}^{b} f (x) ⅆ x = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

= \lim_{a \to 0} (F (1) - F (a))

Zunächst wird die Stammfunktion F von f bestimmt:

Schritt einblenden / ausblenden

Partielle Integration

\int u \cdot v ⅆ x = U \cdot v - \int U \cdot v^{'} ⅆ x

U Stammfunktion von u

Hier:

u (x) = x - 1 \Rightarrow U = \frac{x^{2}}{2} - x

v (x) = \ln x \Rightarrow v^{'} (x) = \frac{1}{x}

\int (x - 1) \ln x ⅆ x = (\frac{x^{2}}{2} - x) \cdot \ln x - \int (\frac{x^{2}}{2} - x) \cdot \frac{1}{x} ⅆ x = (\frac{x^{2}}{2} - x) \cdot \ln x - \int (\frac{x}{2} - 1) ⅆ x

\Rightarrow F = (\frac{x^{2}}{2} - x) \ln x - \frac{x^{2}}{4} + x

Die Fläche FL lautet somit:

F L = \lim_{a \to 0} [((\frac{1^{2}}{2} - 1) \cdot \ln 1 - \frac{1^{2}}{4} + 1) - ((\frac{a^{2}}{2} - a) \cdot \ln a - \frac{a^{2}}{4} + a)] =

Schritt einblenden / ausblenden

Grenzwerte ermitteln

Die Polynomfunktion

\frac{a^{2}}{2} - a

"gewinnt" gegenüber der Logarithmusfunktion

\ln a

im Grenzwert.

= \lim_{a \to 0} [\frac{3}{4} - (\underset{\to 0}{\underset{⏟}{\underset{\to 0}{\underset{⏟}{(\frac{a^{2}}{2} - a)}} \cdot \underset{\to - \infty}{\underset{⏟}{\ln a}}}} - \underset{\to 0}{\underset{⏟}{\frac{a^{2}}{4}}} + \underset{\to 0}{\underset{⏟}{a}})] = \frac{3}{4} = 0, 75

FL hat den endlichen Inhalt 0,75

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Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

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Themen dieser Aufgabe:

Skizze

Flächenberechnung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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