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Lösung Abitur Bayern 2005 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1d (4 BE)

Zeigen Sie, dass die Scharebene $Z_{2}$ eine winkelhalbierende Ebene der beiden zueinander senkrechten Scharebenen $Z_{1}$ und $Z_{4}$ ist.

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Lagebeziehung von Ebenen

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Winkelhalbierende Ebenen von $Z_{1}$ und $Z_{4}$ :

$W_{1 / 2} : Z_{1}^{HNF} \pm Z_{4}^{HNF} = 0$

Schritt einblenden / ausblenden

$Z_{1}^{HNF} : \frac{\vec{x} \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix}) - 6}{3} = 0$

$Z_{4}^{HNF} : \frac{\vec{x} \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix}) - 6}{3} = 0$

$w_{1 / 2} : \frac{\vec{x} \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix}) - 6}{3} \pm \frac{\vec{x} \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix}) - 6}{3} = 0$

$w_{1} : \frac{\vec{x} \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix}) - 6}{3} + \frac{\vec{x} \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix}) - 6}{3} = 0 | · 3$

$w_{1} : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix}) - 6 + \vec{x} \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix}) - 6 = 0$

$w_{1} : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} - 2 - 1 \\ - 2 + 2 \\ - 1 - 2 \end{matrix}) - 12 = 0$

$w_{1} : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix}) - 12 = 0$

$w_{2} : \frac{\vec{x} \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix}) - 6}{3} - \frac{\vec{x} \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix}) - 6}{3} = 0 | · 3$

$w_{2} : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix}) - 6 - (\vec{x} \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix}) - 6) = 0$

$w_{2} : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} - 2 + 1 \\ - 2 - 2 \\ - 1 + 2 \end{matrix}) = 0$

$w_{2} : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 4 \\ 1 \end{matrix}) = 0$

$Z_{a}^{N} : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} 4 a - 10 \\ - 2 a - 4 \\ 5 a - 8 \end{matrix}) = - 18 a + 36$

a = 2

$Z_{2}^{N} : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ - 8 \\ 2 \end{matrix}) = 0 \Leftrightarrow \vec{x} \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 4 \\ 1 \end{matrix}) = 0$

Die Winkelhalbierende $W_{2}$ entspricht der Scharebene $Z_{2}$ .

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