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Lösung Abitur Bayern 2005 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1c (4 BE)

Berechnen Sie, für welchen Wert des Parameters a die zugehörige Scharebene senkrecht auf der Scharebene $Z_{1}$ steht.

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Lagebeziehung von Ebenen

$Z_{a}^{N} : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} 4 a - 10 \\ - 2 a - 4 \\ 5 a - 8 \end{matrix}) = - 18 a + 36$

$Z_{1}^{N} : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} - 6 \\ - 6 \\ - 3 \end{matrix}) = 18 \Leftrightarrow \vec{x} \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix}) = 6$

Steht die Ebene $Z_{a}$ senkrecht auf der Ebene $Z_{1}$ , so stehen die Normalenvektoren dieser Ebenen ebenfalls senkrecht aufeinander.
Das Skalarprodukt der Normalenvektoren ist dann gleich Null.

$\vec{n_{1}} · \vec{n_{a}} = 0$

$(\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 a - 10 \\ - 2 a - 4 \\ 5 a - 8 \end{matrix}) = 0$

-8a + 20 + 4a + 8 - 5a + 8 = 0
-9a + 36 = 0

9a = 36
a = 4

$Z_{4}^{N} : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} 6 \\ - 12 \\ 12 \end{matrix}) = - 36 \Leftrightarrow \vec{x} \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix}) = 6$

Die Ebene $Z_{4}$ steht senkrecht auf der Ebene $Z_{1}$ .

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