Lösung Abitur Bayern 2005 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3c (9 BE)

Bestätigen Sie, dass

S (1 | \frac{4}{3})

ein weiterer Schnittpunkt von

G_{f}

und

G_{p}

ist. Berechnen Sie den Flächeninhalt des in Abb. 2 schraffierten Flächenstücks, das von

G_{f}

G_{p}

und der x-Achse begrenzt wird.

Lösung zu Teilaufgabe 3c

Schnittpunkt zweier Funktionen

S (1 | \frac{4}{3})

p (x) = - \frac{1}{6} x^{2} + \frac{3}{2}

f (x) = - \frac{1}{6} + \frac{1, 5}{x^{2}}

p (1) = - \frac{1}{6} + \frac{3}{2} = \frac{- 1 + 9}{6} = \frac{4}{3}

f (1) = - \frac{1}{6} + \frac{1, 5}{1} = - \frac{1}{6} + \frac{3}{2} = \frac{- 1 + 9}{6} = \frac{4}{3}

→ Da die Funktionswerte für p und f an der Stelle x = 1 übereinstimmen, schneiden sich die beiden Funktionen im Punkt

S (1 | \frac{4}{3})

Flächenberechnung

schraffierte Fläche =

2 · \int_{0}^{1} p (x) dx + 2 · \int_{1}^{3} f (x) dx

\int_{0}^{1} p (x) dx = \int_{0}^{1} (- \frac{1}{6} x^{2} + \frac{3}{2}) dx = {[- \frac{1}{6} · \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2} x]}_{0}^{1} = - \frac{1}{18} + \frac{3}{2} = \frac{13}{9}

\int_{1}^{3} f (x) dx = \int_{1}^{3} (- \frac{1}{6} + \frac{3}{2 x^{2}}) dx = {[- \frac{1}{6} x - \frac{3}{2 x}]}_{1}^{3} = - \frac{1}{6} · 3 - \frac{3}{2 · 3} + \frac{1}{6} + \frac{3}{2} = \frac{2}{3}

Schritt einblenden / ausblenden

Integral

Die Fläche, die der Graph einer Funktion mit der x-Achse innerhalb eines Intervalls [a;b] einnimmt, wird als Integral bezeichnet.

A = \int_{a}^{b} f (x) dx = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

Um das Integral zu berechnen, muss die Stammfunktion F einer Funktion f ermittelt werden.

Allgemein gilt:

f (x) = x^{n} \Rightarrow F (x) = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}

F`(x) = f(x)

in diesem Beispiel:

p (x) = - \frac{1}{6} x^{2} + \frac{3}{2}

\Rightarrow P (x) = - \frac{1}{6} · \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2} x

f (x) = - \frac{1}{6} + \frac{3}{2 x^{2}} = - \frac{1}{6} + \frac{3 x^{- 2}}{2}

\Rightarrow F (x) = - \frac{1}{6} - \frac{3 x^{- 1}}{2} = - \frac{1}{6} x - \frac{3}{2 x}

schraffierte Fläche =

2 · (\frac{13}{9} + \frac{2}{3}) = 2 · \frac{19}{9} = \frac{38}{9} = 4 \frac{2}{9} FE

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Themen dieser Aufgabe:

Schnittpunkt zweier Funktionen

Flächenberechnung

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