Abitur 2005 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

Im Eingangsbereich eines Unternehmens soll das Firmenlogo im Boden eingelassen werden. Abb. 1 zeigt den Entwurf des Architekten nach Wahl eines geeigneten Koordinatensystems:

Im Quadrat ABCD schneiden vier kongruente parabelförmige Bögen die in Abb. 1 schraffierte Figur aus. Die untere Parabel

G_{p}

ist der Graph der quadratischen Funktion p mit

D_{p} = R

G_{p}

schneidet die x-Achse in den Punkten A(-3|0) und B(3|0). Die Diagonalen des Quadrats sind zugleich Tangenten an die Parabeln in den Punkten A und C bzw. B und D.

Teilaufgabe 1a (6 BE)

Geben Sie die Werte der Ableitung von p in den beiden Nullstellen an und bestimmen Sie den Funktionsterm der Funktion p.
[Zur Kontrolle:

p (x) = - \frac{1}{6} x^{2} + 1, 5

]

Teilaufgabe 1b (6 BE)

Berechnen Sie den Flächeninhalt der schraffierten Figur, wenn die Seitenlänge des Quadrats ABCD in der Eingangshalle 6m beträgt.

Die Graphen der linken, rechten und oberen Parabel in Abb. 1 gehen aus

G_{p}

durch Spiegelung und Verschiebung hervor. Daher können die zugehörigen Funktionsterme aus dem Funktionsterm von p entwickelt werden.

Teilaufgabe 2a (4 BE)

Erklären Sie zunächst allgemein, wie die Graphen zu den Zuordnungsvorschriften

x \mapsto p (x) + a

bzw.

x \mapsto p (x + b)

mit

a, b \in R^{+}

durch Verschiebung aus

G_{p}

entstehen.

Teilaufgabe 2b (3 BE)

Begründen Sie ohne Rechnung, dass zum Graphen

G_{o}

der oberen Parabel in Abb.1 die Zuordnungsvorschrift

x \mapsto - p (x) + 6

gehört.

Teilaufgabe 2c (4 BE)

p ist in [0; +∞[ umkehrbar. Ergänzen Sie den Graphen der zugehörigen Umkehrfunktion

p^{- 1}

in Abb.1.
Kennzeichnen Sie in Abb. 1 den Teil der Umrandung der schraffierten Figur, zu dem die Zuordnungsvorschrift

x \mapsto - p^{- 1} (x + 3) + 3

gehört.

Betrachtet wird nun die Funktion

f : x \mapsto f (x) = \frac{p (x)}{x^{2}} = - \frac{1}{6} + \frac{1, 5}{x^{2}}

mit

D_{f} = R \ {0}

(mit p aus Aufgabe 1). Der Graph

G_{f}

der Funktion f ist zusammen mit

G_{p}

in Abb. 2 dargestellt. Gemäß der Definition von f stimmen die Nullstellen von f mit den Nullstellen von p überein.

Teilaufgabe 3a (2 BE)

Weisen Sie nach, dass

G_{f}

achsensymmetrisch ist und untersuchen Sie das Verhalten von

G_{f}

für x → +∞.

Teilaufgabe 3b (6 BE)

Ermitteln Sie die Gleichungen der Tangenten an

G_{f}

in den beiden Nullstellen.

Teilaufgabe 3c (9 BE)

Bestätigen Sie, dass

S (1 | \frac{4}{3})

ein weiterer Schnittpunkt von

G_{f}

und

G_{p}

ist. Berechnen Sie den Flächeninhalt des in Abb. 2 schraffierten Flächenstücks, das von

G_{f}

G_{p}

und der x-Achse begrenzt wird.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Teilaufgabe 3c

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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