Lösung Abitur Bayern 2005 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3a (2 BE)

Betrachtet wird nun die Funktion

f : x \mapsto f (x) = \frac{p (x)}{x^{2}} = - \frac{1}{6} + \frac{1, 5}{x^{2}}

mit

D_{f} = R \ {0}

(mit p aus Aufgabe 1). Der Graph

G_{f}

der Funktion f ist zusammen mit

G_{p}

in Abb. 2 dargestellt. Gemäß der Definition von f stimmen die Nullstellen von f mit den Nullstellen von p überein.

Weisen Sie nach, dass

G_{f}

achsensymmetrisch ist und untersuchen Sie das Verhalten von

G_{f}

für x → +∞.

Lösung zu Teilaufgabe 3a

Symmetrieverhalten einer Funktion

p (x) = - \frac{1}{6} x^{2} + \frac{3}{2}

f (x) = \frac{p (x)}{x^{2}}

f (x) = - \frac{1}{6} + \frac{1, 5}{x^{2}}; D_{f} = R \ {0}

f (- x) = - \frac{1}{6} + \frac{1, 5}{{(- x)}^{2}} = - \frac{1}{6} + \frac{1, 5}{x^{2}} = f (x)

\Rightarrow G_{f}

verläuft symmetrisch zur y-Achse

Schritt einblenden / ausblenden

Symmetrieverhalten

Achsensymmetrie:
Wenn für alle

x \in D_{f}

einer Funktion f gilt:
f(-x) = f(x), dann ist

G_{f}

symmetrisch zur y-Achse.

Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs

x → + ∞:

lim_{x \to + \infty} (- \frac{1}{6} + \underset{\underset{↘ 0}{︸}}{\frac{1, 5}{x^{2}}}) = - \frac{1}{6}

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Lösungen zu:

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Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Teilaufgabe 3c

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Symmetrieverhalten einer Funktion

Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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