Lösung Abitur Bayern 2005 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1b (6 BE)

Berechnen Sie den Flächeninhalt der schraffierten Figur, wenn die Seitenlänge des Quadrats ABCD in der Eingangshalle 6m beträgt.

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Flächenberechnung

schraffierte Fläche =

A_{Quadrat} - 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot

Bogenfläche

schraffierte Fläche =

6^{2} - 8 \int_{0}^{3} p (x) d x

\int_{0}^{3} p (x) dx = \int_{0}^{3} (- \frac{1}{6} x^{2} + \frac{3}{2}) dx

= {[- \frac{1}{6} · \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2} x]}_{0}^{3}

= - \frac{1}{6} · \frac{3^{3}}{3} + \frac{3}{2} · 3 - 0

= - \frac{3}{2} + \frac{9}{2} = 3

Schritt einblenden / ausblenden

Integral

Die Fläche, die der Graph einer Funktion mit der x-Achse innerhalb eines Intervalls [a;b] einnimmt, wird als Integral bezeichnet.

A = \int_{a}^{b} f (x) dx = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

Um das Integral zu berechnen, muss die Stammfunktion F einer Funktion f ermittelt werden.

Allgemein gilt:

f (x) = x^{n} \Rightarrow F (x) = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}

F`(x) = f(x)

In diesem Beispiel:

f (x) = - \frac{1}{6} x^{2} + \frac{3}{2}

\Rightarrow F (x) = - \frac{1}{6} · \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2} x

schraffierte Fläche =

6^{2} - 8 \cdot 3 = 12

Der Flächeninhalt der schraffierten Fläche beträgt

12 m^{2}

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Teilaufgabe 3b

Teilaufgabe 3c

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Flächenberechnung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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