Lösung Abitur Bayern 2004 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2 (7 BE)

Einem Patienten wird zum Zeitpunkt x = 0 eine bestimmte Menge eines Medikaments verabreicht. Der obige Term f(x) beschreibt die Konzentration dieses Medikaments (Anzahl der Milliliter pro Liter Blut) nach x Stunden.
Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration auf 75 % ihres Höchstwerts abgesunken ist.

Lösung zu Teilaufgabe 2

Anwendung: Extremwertproblem

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Erläuterung

Der Höchstwert der Konzentration beträgt bei x = 2ln2 y = 2,5. (siehe Aufgabe 1c, Art und Lage des Extrempunktes)

75% des Höchstwertes sind demnach

2, 5 · \frac{3}{4}

.

Um den Zeitpunkt zu bestimmen, zudem die Konzentration auf 75% ihres Höchstwertes abgesunken ist, muss die Gleichung

2, 5 · \frac{3}{4}

10 (e^{- \frac{x}{2}} - e^{- x})

gelöst werden.

Wie auf der Zeichnung zu sehen, erhält man 2 Lösungen. Der x-Wert der gesuchten Lösung ist größer als der x-Wert des Maximums, da der Zeitpunkt nach dem Absinken der Konzentration vom Höchstwert gesucht ist.

2, 5 · \frac{3}{4}

10 (e^{- \frac{x}{2}} - e^{- x})

|:10

\frac{2, 5}{10} · \frac{3}{4}

e^{- \frac{x}{2}} - e^{- x}

\frac{3}{16}

e^{- \frac{x}{2}} - e^{- x}

· 16 e^{x}

3 e^{x} = 16 e^{\frac{x}{2}} - 16

3 e^{x} - 16 e^{\frac{x}{2}} + 16 = 0

| z =

e^{\frac{x}{2}}

3 z^{2} - 16 z + 16 = 0

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Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Setzt man in der Gleichung

3 e^{x} - 16 e^{\frac{x}{2}} + 16 = 0

anstelle von

e^{\frac{x}{2}}

die Variable z ein, erhält man die quadratische Gleichung

3 z^{2} - 16 z + 16 = 0

.

Mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen, kann diese gelöst werden.

{ax}^{2} + bx + c = 0

x_{1 / 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 · a · c}}{2 a}

z_{1 / 2} = \frac{16 \pm \sqrt{16 · 16 - 12 · 16}}{6}

z_{1 / 2} = \frac{16 \pm 4 · 2}{6}

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Erläuterung

z_{1 / 2} = \frac{16 \pm 4 · 2}{6}

z_{1} = 4

z_{2} = \frac{4}{3}

Die Lösung

z_{2}

entfällt, da der Zeitpunkt nach dem Absinken der Konzentration vom Höchstwert gesucht ist, damit der größere Wert.

z = 4 | z =

e^{\frac{x}{2}}

4 = e^{\frac{x}{2}}

| logarithmieren

ln4 = \frac{x}{2}

x = 2ln4

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Anwendung: Extremwertproblem

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