Abitur 2004 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

Gegeben ist die in R definierte Funktion f mit

f(x) = 10 (e^{- \frac{x}{2}} - e^{- x})

.
Der zugehörige Graph ist nebenstehend skizziert.

Teilaufgabe 1a (3 BE)

Untersuchen Sie durch Rechnung das Verhalten von f für

x \to + \infty

und für

x \to - \infty

Teilaufgabe 1b (4 BE)

Untersuchen Sie durch Rechnung in welchen Intervallen die Funktionswerte von f positiv bzw. negativ sind,

Teilaufgabe 1c (6 BE)

Untersuchen Sie durch Rechnung Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von f.
[Zur Kontrolle: H(2ln2|2,5) ]

Teilaufgabe 2 (7 BE)

Einem Patienten wird zum Zeitpunkt x = 0 eine bestimmte Menge eines Medikaments verabreicht. Der obige Term f(x) beschreibt die Konzentration dieses Medikaments (Anzahl der Milliliter pro Liter Blut) nach x Stunden.
Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration auf 75 % ihres Höchstwerts abgesunken ist.

Nun werden die in R definierten Integralfunktionen

F_{a} : x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t

betrachtet (

a \in R

). Der Graph von

F_{a}

wird mit

G_{a}

bezeichnet.

Teilaufgabe 3a (4 BE)

Bestimmen Sie das Monotonie- und das Krümmungsverhalten von

G_{a}

ohne Ausführung der Integration (kurze Begründung).

Teilaufgabe 3b (9 BE)

Bestimmen Sie eine integralfreie Darstellung von

F_{0} (x)

und zeigen Sie, dass gilt:

lim_{x \to + \infty} F_{0} (x) = 10

.
Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunkts von

G_{0}

. Skizzieren Sie

G_{0}

unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse.

Teilaufgabe 3c (7 BE)

Erklären Sie, warum jede Funktion

F_{a}

mit a > 0 genau zwei Nullstellen hat (explizite Berechnung der Nullstellen nicht verlangt).
Erläutern Sie, warum es Funktionen

F_{a}

mit a < 0 gibt, die genau eine Nullstelle haben.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 2

Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Teilaufgabe 3c

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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