Lösung Abitur Bayern 2004 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1a (3 BE)

Gegeben ist die in R definierte Funktion f mit

f(x) = 10 (e^{- \frac{x}{2}} - e^{- x})

.
Der zugehörige Graph ist nebenstehend skizziert.

Untersuchen Sie durch Rechnung das Verhalten von f für

x \to + \infty

und für

x \to - \infty

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs

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f(x) = 10 (e^{- \frac{x}{2}} - e^{- x})

f(x) = 10 · e^{- \frac{x}{2}} (1 - e^{- \frac{x}{2}})

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Erläuterung

Am Graph der Funktion

f (x) = e^{- \frac{x}{2}}

lässt sich leicht das Verhalten für

x \to + \infty

bzw. für

x \to - \infty

ablesen.
Für immer größer werdende x-Werte nähern sich die Funktionswerte immer mehr der x-Achse, also 0, an.
Für immer kleiner werdende x-Werte werden die Funktionswerte immer größer.

lim_{x \to + \infty} 10 \cdot \underset{\to 0}{\underset{︸}{e^{- \frac{x}{2}}}} (1 - \underset{\to 0}{\underset{︸}{e^{- \frac{x}{2}}}}) = 0

lim_{x \to - \infty} 10 \cdot \underset{\to + \infty}{\underset{︸}{e^{- \frac{x}{2}}}} \underset{\to - \infty}{\underset{︸}{(1 - \underset{\to + \infty}{\underset{︸}{e^{- \frac{x}{2}}}})}} = - \infty

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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