Lösung Abitur Bayern 2004 Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3b (6 BE)

Die beiden Kugeln schneiden sich in einem Kreis. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene, in der dieser Schnittkreis liegt, sowie den Mittelpunkt und den Radius dieses Kreises.

Lösung zu Teilaufgabe 3b

Schnitt zweier Kugeln

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Schnittebene senkrecht zur

x_{2}

-Achse

\Rightarrow \overset{⇀}{n} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

Q(2|6|5) liegt auf der Schnittebene

\tilde{E} : \overset{⇀}{x} · \overset{⇀}{n} = \overset{⇀}{x_{o}} · \overset{⇀}{n}

\tilde{E} : \overset{⇀}{x} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

\tilde{E} : \overset{⇀}{x} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = 6 \Rightarrow x_{2} = 6

Schritt einblenden / ausblenden

Schnitt zweier Kugeln

Die Gleichung der Schnittebene kann auch berechnet werden, indem das Gleichungssystem aus den beiden Kugelgleichungen gelöst wird.

I:

K_{1} : {[\overset{⇀}{x} - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{matrix})]}^{2} = 49

II:

K_{2} : {[\overset{⇀}{x} - (\begin{matrix} 0 \\ 12 \\ 8 \end{matrix})]}^{2} = 49

(Ausmultiplizieren mit Hilfe der Binomischen Formeln)
_____________________
I:

{\overset{⇀}{x}}^{2} - 2 \overset{⇀}{x} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{matrix}) + 64 = 49

II:

{\overset{⇀}{x}}^{2} - 2 \overset{⇀}{x} (\begin{matrix} 0 \\ 12 \\ 8 \end{matrix}) + 12^{2} + 64 = 49

_____________________
I - II:

- 2 \overset{⇀}{x} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{matrix}) + 2 \overset{⇀}{x} (\begin{matrix} 0 \\ 12 \\ 8 \end{matrix}) - 144 = 0

2 \overset{⇀}{x} [(\begin{matrix} 0 \\ 12 \\ 8 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{matrix})] - 144 = 0

2 \overset{⇀}{x} (\begin{matrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end{matrix}) - 144 = 0

2 · 12 · \overset{⇀}{x} (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) - 144 = 0 | : 24

\tilde{E} : \overset{⇀}{x} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = 6

Der Mittelpunkt

M^{'}

des Schnittkreises liegt auf h und hat

x_{2} = 6

M^{'} (0 | 6 | 8)

Den Radius

r^{'}

des Schnittkreises berechnet man mit Hilfe des Sates des Pythagoras (siehe Zeichnung).

7^{2} = 6^{2} + {r^{'}}^{2}

49 = 36 + {r^{'}}^{2} | - 36

13 = {r^{'}}^{2}

\sqrt{13} = r^{'}

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Schnitt zweier Kugeln

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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