Lösung Abitur Bayern 2004 Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3a (6 BE)

Durch den Punkt B verläuft parallel zur

x_{2}

-Achse die Gerade h. Auf der Geraden h liegen die Mittelpunkte

M_{1}

und

M_{2}

zweier Kugeln

K_{1}

und

K_{2}

. Die Kugeln haben den Radius 7; der Punkt Q(2|6|5) liegt sowohl auf

K_{1}

als auch auf

K_{2}

Berechnen Sie die Koordinaten von

M_{1}

und

M_{2}

(M_{2}

sei der Mittelpunkt mit positiver

x_{2}

-Koordinate.)
[Ergebnis:

M_{1} (0 | 0 | 8)

M_{2} (0 | 12 | 8)

]

Lösung zu Teilaufgabe 3a

Lage eines Punktes

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Gerade h durch B parallel zur

x_{2}

-Achse

h : \overset{⇀}{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

Die Kugelmittelpunkte liegen auf h

M_{1}; M_{2} \in h

Die Kugeln haben den Radius 7
r = 7

Q(2|6|5) liegt auf

K_{1}

und

K_{2}

K : {[\overset{⇀}{x} - \overset{⇀}{m}]}^{2} = r^{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Mittelpunkte M der Kugeln liegen auf h, also erfüllen sie die Geradengleichung.

h : \overset{⇀}{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

\overset{⇀}{m} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

Der Punkt Q(2|6|5) liegt auf beiden Kugeln. Es gilt dann:

{[\overset{⇀}{q} - \overset{⇀}{m}]}^{2} = r^{2}

{[(\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ 5 \end{matrix}) - \underset{\underset{m}{︸}}{((\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}))}]}^{2} = 49

{[(\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ 5 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{matrix}) - λ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})]}^{2} = 49

Mit dieser Gleichung lässt sich

λ

berechnen. Einsetzen von

λ

in die Geradengleichung liefert den Mittelpunkt.

{[(\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ 5 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{matrix}) - λ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})]}^{2} = 49

{[(\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ - 3 \end{matrix}) - λ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})]}^{2} = 49

Schritt einblenden / ausblenden

Binomische Formel

Binomische Formel:

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

\Rightarrow

{[\underset{\underset{a}{︸}}{(\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ - 3 \end{matrix})} - \underset{\underset{b}{︸}}{λ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})}]}^{2} = 49

\underset{\underset{a^{2}}{︸}}{(\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ - 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ - 3 \end{matrix})} - 2 \cdot \underset{\underset{a}{︸}}{(\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ - 3 \end{matrix})} \cdot \underset{\underset{b}{︸}}{λ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})} + \underset{\underset{b^{2}}{︸}}{λ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) \cdot λ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})} = 49

49 - 2 · λ · 6 + λ^{2} · 1 = 49

λ^{2} - 12 λ + 49 = 49 | - 49

λ^{2} - 12 λ = 0

49 - 2 · λ · 6 + λ^{2} = 49 | - 49

λ^{2} - 12 λ = 0

λ · (λ - 12) = 0

λ_{1} = 0

λ_{2} = 12

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

λ_{1} = 0

λ_{2} = 12

h : \overset{⇀}{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

M_{1} : \overset{⇀}{m_{1}} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{matrix}) + 0 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{matrix}) \Rightarrow M_{1} (0 | 0 | 8)

M_{2} : \overset{⇀}{m_{2}} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{matrix}) + 12 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 12 \\ 8 \end{matrix}) \Rightarrow M_{2} (0 | 12 | 8)

\Rightarrow M_{1} (0 | 0 | 8), M_{2} (0 | 12 | 8)

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