Lösung Abitur Bayern 2004 Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2a (5 BE)

Begründen Sie, dass die Punkte A und C mit jedem von A verschiedenen Punkt

P (x_{1} | 0 | 2)

der Geraden g ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Berechnen Sie dann den Wert

x_{1} > 0

so, dass das Dreieck zudem gleichschenklig ist; dieses Dreieck wird mit ACD bezeichnet.
[Zur Kontrolle: D(5,2|0|2)]

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Skalarprodukt

\overset{⇀}{AC} = (\begin{matrix} 0 \\ 4, 8 \\ - 2 \end{matrix})

\overset{⇀}{AP} = (\begin{matrix} x_{1} \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 \\ 4, 8 \\ - 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = 0

Die Gleichung ist für jedes

x_{1}

erfüllt, also stehen

\overset{⇀}{AC}

und

\overset{⇀}{AP}

senkrecht aufeinander.

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Skalarprodukt

Wenn die Punkte A und C mit jedem von A verschiedenen Punkt

P (x_{1} | 0 | 2)

der Geraden g ein rechtwinkliges Dreieck bilden, müssen die Vektoren

\overset{⇀}{AC}

und

\overset{⇀}{AP}

senkrecht aufeinander stehen. Das Skalarprodukt der beiden Vektoren muss also immer gleich Null sein.

Lage eines Punktes

self::rueckwandlungAmp( href="/al_upload/2004/GK/Analytische%20Geometrie/V/2a/loesung/abi2004_geo_gk_5_2a.wrl" target="_blank", )

Dreieck ACD gleichschenklig

\Rightarrow \overline{AP} = \overline{AC}

$\overset{⇀}{AP} = (\begin{matrix} x_{1} \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$	$\overset{⇀}{AC} = (\begin{matrix} 0 \\ 4, 8 \\ - 2 \end{matrix})$
$\overline{AP} = \sqrt{{x_{1}}^{2}} = x_{1}$	$\overline{AC} = \sqrt{4, 8^{2} + {(- 2)}^{2}}$

\overline{AP} = \overline{AC}

x_{1} = \sqrt{4, 8^{2} + {(- 2)}^{2}}

x_{1} = 5, 2

\Rightarrow D (5, 2 | 0 | 2)

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Teilaufgabe 3c

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Skalarprodukt

Lage eines Punktes

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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