Abitur 2004 Mathematik GK Analytische Geometrie V

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte A(0|0|2), B(0|0|8) und C(0|4,8|0). Die Gerade g verläuft durch A und ist parallel zur

x_{1}

-Achse.

Teilaufgabe 1a (5 BE)

Die Gerade g und der Punkt C bestimmen die Ebene E. Zeigen Sie, dass

5 x_{2} + 12 x_{3} - 24 = 0

eine Gleichung von E ist.

Teilaufgabe 1b (3 BE)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebene E mit der

x_{1} x_{2}

-Ebene.

Teilaufgabe 1c (5 BE)

Legen Sie ein Koordinatensystem an und tragen Sie die bisherigen Punkte und Geraden ein. Kennzeichnen Sie in der Zeichnung die Schnittgeraden der Ebene E mit den drei Koordinatenebenen.
(Ganze Seite; Ursprung in Blattmitte)

Teilaufgabe 2a (5 BE)

Begründen Sie, dass die Punkte A und C mit jedem von A verschiedenen Punkt

P (x_{1} | 0 | 2)

der Geraden g ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Berechnen Sie dann den Wert

x_{1} > 0

so, dass das Dreieck zudem gleichschenklig ist; dieses Dreieck wird mit ACD bezeichnet.
[Zur Kontrolle: D(5,2|0|2)]

Teilaufgabe 2b (6 BE)

Tragen Sie in Ihre Zeichnung die Kanten der Pyramide ABCD ein. Wie groß sind in diesem Körper die Höhen, die auf den Grundflächen ABD bzw. ACD senkrecht stehen? (In einem Fall ist das Maß aus der Zeichnung ohne Rechnung ersichtlich.)

Durch den Punkt B verläuft parallel zur

x_{2}

-Achse die Gerade h. Auf der Geraden h liegen die Mittelpunkte

M_{1}

und

M_{2}

zweier Kugeln

K_{1}

und

K_{2}

. Die Kugeln haben den Radius 7; der Punkt Q(2|6|5) liegt sowohl auf

K_{1}

als auch auf

K_{2}

Teilaufgabe 3a (6 BE)

Berechnen Sie die Koordinaten von

M_{1}

und

M_{2}

(M_{2}

sei der Mittelpunkt mit positiver

x_{2}

-Koordinate.)
[Ergebnis:

M_{1} (0 | 0 | 8)

M_{2} (0 | 12 | 8)

]

Teilaufgabe 3b (6 BE)

Die beiden Kugeln schneiden sich in einem Kreis. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene, in der dieser Schnittkreis liegt, sowie den Mittelpunkt und den Radius dieses Kreises.

Teilaufgabe 3c (4 BE)

Eine weitere Kugel

K_{3}

mit Mittelpunkt

M_{1}

hat den Radius R. Für welche Werte von R hat diese Kugel einen Schnittkreis mit

K_{2}

?
Erläutern Sie Ihre Lösung.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Teilaufgabe 3c

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