Lösung Abitur Bayern 2002 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2a (5 BE)

Zwei Gänge von 2,0 m und 4,0 m Breite treffen rechtwinklig aufeinander. Es soll die größtmögliche Länge L eines Balkens ermittelt werden, den man in horizontaler Lage aus einem Gang in den anderen tragen kann. Die Dicke des Balkens wird als vernachlässigbar klein angesehen.

Dazu betrachte man die gezeichnete Figur.

l (\propto)

ist die Maßzahl der in Meter angegebenen Länge der Strecke [AB] und definiert für

(0 ° < \propto < 90 °)

die Funktion l.

Geben Sie an, welche Bedeutung die Maßzahl der gesuchten Länge L für die Funktion l hat. Zeigen Sie:

l (\propto) = \frac{2}{\sin \propto} + \frac{4}{\cos \propto}

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Geometrische Anwendung

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Zeichnung: zwei rechtwinklige Dreiecke mit Hypothenusen

l_{1}

und

l_{2}

l = l_{1} + l_{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Winkelfunktionen

Im rechtwinkligen Dreieck gilt:

\sin \propto = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}

\cos \propto = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}

\sin \propto = \frac{2}{l_{1}} \Rightarrow l_{1} = \frac{2}{\sin \propto}

\cos \propto = \frac{4}{l_{2}} \Rightarrow l_{2} = \frac{4}{\cos \propto}

l (\propto) = l_{1} + l_{2} = \frac{2}{\sin \propto} + \frac{4}{\cos \propto}

Die Maßzahl L ist das Minimum der Funktion

l (\propto)

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Geometrische Anwendung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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