Lösung Abitur Bayern 2002 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1f (6 BE)

Berechnen Sie mit Hilfe der Umkehrfunktion g das Integral

\int_{0}^{2} f (x) dx

Lösung zu Teilaufgabe 1f

Uneigentliches Integral

Zeichnung:

\int_{0}^{2} f (x) dx

und

\int_{0}^{\infty} g (x) dx

Schritt einblenden / ausblenden

Uneigentliches Integral

Das Integral

\int_{0}^{\infty} g (x) dx

geht aus dem Integral

\int_{0}^{2} f (x) dx

durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden hervor.

Bestimmung des Integrals

\int_{0}^{\infty} g (x) dx

Schritt einblenden / ausblenden

Uneigentliches Integral

Das uneigentliche Integral

\int_{0}^{\infty} g (x) dx

ist definiert als Grenzwert:

\int_{0}^{\infty} g (x) dx = \lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} g (x) dx

= \lim_{b \to \infty} [G (b) - G (0)]

wobei G die Stammfunktion zu g ist.

Stammfunktion G(x):

Schritt einblenden / ausblenden

Stammfunktion

Bestimmung der Stammfunktion mit der Regel:

f (x) = \frac{h^{'} (x)}{h (x)} \Rightarrow F (x) = \ln | h (x) |

g (x) = 4 \cdot (1 - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}) \Rightarrow G (x) = 4 \cdot (x - \ln (e^{x} + 1))

= 4 \cdot (\ln e^{x} - \ln (e^{x} + 1))

= 4 · \ln \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}

Schritt einblenden / ausblenden

\lim_{b \to \infty} (g (b) - g (0)) = \lim_{b \to \infty} (4 · \ln \frac{e^{b}}{e^{b} + 1} - 4 · \ln \frac{e^{0}}{e^{0} + 1})

Schritt einblenden / ausblenden

Grenzwerte ermitteln

\lim_{b \to \infty} \frac{e^{b}}{e^{b} + 1} = 1

= 4 · \ln 1 - 4 · \ln \frac{1}{2}

= 0 + 4 · \ln 2

Das Integral beträgt

4 · ln2

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Teilaufgabe 2b

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Uneigentliches Integral

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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