Lösung Abitur Bayern 2002 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1e (6 BE)

f besitzt eine Umkehrfunktion, die mit g bezeichnet wird.

Zeigen Sie, dass gilt:

g (x) = 4 - \frac{4 e^{x}}{1 + e^{x}}

. Tragen Sie den Graphen von g in das Koordinatensystem der Teilaufgabe 1d ein.

Lösung zu Teilaufgabe 1e

Umkehrfunktion bestimmen

Umkehrfunktion g:

Schritt einblenden / ausblenden

y = \ln (\frac{4}{x} - 1)

\Rightarrow e^{y} = \frac{4}{x} - 1

\Rightarrow e^{y} + 1 = \frac{4}{x}

\Rightarrow \frac{4}{e^{y} + 1} = x

\Rightarrow 4 \cdot (\frac{1 + e^{y} - e^{y}}{e^{y} + 1}) = x

\Rightarrow 4 \cdot (\frac{1 + e^{y}}{e^{y} + 1} - \frac{e^{y}}{e^{y} + 1}) = x

\Rightarrow 4 \cdot (1 - \frac{e^{y}}{e^{y} + 1}) = x

\Rightarrow 4 - \frac{4 e^{y}}{e^{y} + 1} = x

Die Umkehrfunktion lautet:

g : x \mapsto 4 - \frac{4 e^{x}}{e^{x} + 1}

Zeichnung: Graphen von f und der Umkehrfunktion g

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Teilaufgabe 2b

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Umkehrfunktion bestimmen

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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