Abitur 2002 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

Gegeben ist die Funktion

f : x \mapsto \ln (\frac{4}{x} - 1)

mit dem maximalen Definitionsbereich

D_{f} =] 0; 4 [

. Der Graph von

f

wird mit

G_{f}

bezeichnet.

Teilaufgabe 1a (4 BE)

Berechnen Sie die Nullstelle von f und untersuchen Sie das Verhalten von f an den Rändern von

D_{f}

Teilaufgabe 1b (3 BE)

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f.

Teilaufgabe 1c (5 BE)

Zeigen Sie, dass

G_{f}

punktsymmetrisch zu Z(2|0) ist.

Teilaufgabe 1d (5 BE)

Berechnen Sie f(0,5). Zeichnen Sie

G_{f}

unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse. Zeichnen Sie auch die Tangente im Symmetriezentrum ein (Ursprung des Koordinatensystems in der Blattmitte).

f besitzt eine Umkehrfunktion, die mit g bezeichnet wird.

Teilaufgabe 1e (6 BE)

Zeigen Sie, dass gilt:

g (x) = 4 - \frac{4 e^{x}}{1 + e^{x}}

. Tragen Sie den Graphen von g in das Koordinatensystem der Teilaufgabe 1d ein.

Teilaufgabe 1f (6 BE)

Berechnen Sie mit Hilfe der Umkehrfunktion g das Integral

\int_{0}^{2} f (x) dx

Zwei Gänge von 2,0 m und 4,0 m Breite treffen rechtwinklig aufeinander. Es soll die größtmögliche Länge L eines Balkens ermittelt werden, den man in horizontaler Lage aus einem Gang in den anderen tragen kann. Die Dicke des Balkens wird als vernachlässigbar klein angesehen.

Dazu betrachte man die gezeichnete Figur.

l (\propto)

ist die Maßzahl der in Meter angegebenen Länge der Strecke [AB] und definiert für

(0 ° < \propto < 90 °)

die Funktion l.

Teilaufgabe 2a (5 BE)

Geben Sie an, welche Bedeutung die Maßzahl der gesuchten Länge L für die Funktion l hat. Zeigen Sie:

l (\propto) = \frac{2}{\sin \propto} + \frac{4}{\cos \propto}

Teilaufgabe 2b (6 BE)

Berechnen Sie L auf dm genau.

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Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 1f

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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