Lösung Abitur Bayern 2001 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3a (6 BE)

Für

x \in] 0; 1]

gilt die Ungleichungskette:

- \ln x \leq f_{1} (x) \leq \ln (x + 1) - \ln x

(Nachweis nicht erforderlich).

Der Graph

G_{1}

, die Koordinatenachsen und die Gerade mit der Gleichung x = 1 begrenzen ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück J. Zeigen Sie mit Hilfe obiger Ungleichungskette, dass J einen endlichen Inhalt hat, dessen Wert in [1; 2ln2] liegt.
(Hinweis:

\lim_{x \to 0} x · lnx = 0

kann ohne Nachweis verwendet werden.)

Lösung zu Teilaufgabe 3a

Uneigentliches Integral

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Zeichnung: -lnx <

f_{1} (x)

< ln(x+1)-lnx

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Uneigentliches Integral

Die gesuchte Fläche ist gegeben durch das uneigentliche Integral (2. Art) :

\int_{0}^{1} f_{1} (x) dx

Das Integral ist ein uneigentliches Integral, weil

f_{1} (x)

bei x=0 gegen plus Unendlich divergiert.

Aus der gegebenen Ungleichungskette -lnx <

f_{1} (x)

< ln(x+1)-lnx folgt für die unter den Graphen liegenden Flächen:

\int_{0}^{1} - \ln x dx < \int_{0}^{1} f_{1} (x) dx < \int_{0}^{1} (\ln (x + 1) - lnx) dx

Zeichnung:

\int_{0}^{1} - \ln x dx < \int_{0}^{1} f_{1} (x) dx < \int_{0}^{1} (\ln (x + 1) - lnx) dx

Berechnung der Integrale:

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Uneigentliches Integral

Berechnung des uneigentlichen Integrals 2. Art :

\lim_{x \to 0} f (x) = \infty \Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) dx = \lim_{a \to 0} \int_{a}^{1} f (x) dx = \lim_{a \to 0} (F (1) - F (a))

Man wählt eine Zahl a als Integrationsanfang, führt die Integration mit Hilfe der Stammfunktion F durch und bildet anschließend den Grenzwert für

a \to 0

\lim_{a \to 0} \int_{a}^{1} - \ln x dx

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Stammfunktion

Die Stammfunktion von ln x:

f (x) = \ln x \Rightarrow F (x) = x · \ln x - x

= \lim_{a \to 0} (- (1 · ln1 - 1) + (a · lna - a))

= lim_{a \to 0} (1 + \underset{\to 0}{\underset{︸}{a \cdot \ln a}} - \underset{\to 0}{\underset{︸}{a}})

= 1

\Rightarrow J = \int_{0}^{1} f_{1} (x) dx > 1

\lim_{a \to 0} \int_{a}^{1} \ln (x + 1) - \ln x dx

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Stammfunktion

Die Stammfunktion von ln x:

f (x) = \ln x \Rightarrow F (x) = x · \ln x - x

\Rightarrow f (x) = \ln (x + 1) \Rightarrow F (x) = (x + 1) · \ln (x + 1) - (x + 1)

= \lim_{a \to 0} (2 · ln2 - 2 + 1 - (a + 1) · \ln (a + 1) + (a + 1) + a · lna - a)

= lim_{a \to 0} (2 \cdot \ln 2 - 1 - \underset{\to 1}{\underset{︸}{(a + 1)}} \cdot \underset{\to 0}{\underset{︸}{\ln (a + 1)}} + \underset{\to 1}{\underset{︸}{(a + 1)}} + \underset{\to 0}{\underset{︸}{a \cdot \ln a}} - \underset{\to 0}{\underset{︸}{a}})

= 2 ln2 - 1 + 1 = 2 ln2

\Rightarrow J = \int_{0}^{1} f_{1} (x) dx < 2 ln2

Also ist die gesuchte Fläche J endlich und beträgt zwischen 1 und

2 ln2

Flächeneinheiten.

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Themen dieser Aufgabe:

Uneigentliches Integral

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die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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