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Lösung Abitur Bayern 2001 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1c (4 BE)

Berechnen Sie für $k \neq 1$ die Koordinaten des Schnittpunktes $S_{k} (x_{S} | y_{S})$ von $G_{1}$ und $G_{k}$ in Abhängigkeit von k.
[Teilergebnis: $x_{S} = \sqrt{k}$ ]

Lösung zu Teilaufgabe 1c

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Schnittpunkt zweier Funktionen

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$f_{1} (x) = \ln (x + \frac{1}{x}) = \ln (\frac{x^{2} + 1}{x})$

Schritt einblenden / ausblenden

$f_{1} (x) = f_{k} (x)$ $\Rightarrow$ $\ln (\frac{x^{2} + 1}{x}) = \ln (\frac{x^{2} + k^{2}}{k x})$

Schritt einblenden / ausblenden

$\frac{x^{2} + 1}{x} = \frac{x^{2} + k^{2}}{k x}$ $| \cdot k x$

$k x^{2} + k = x^{2} + k^{2}$ $| - x^{2} - k$

$k x^{2} - x^{2} = k^{2} - k$

$x^{2} (k - 1) = k (k - 1)$

$x^{2} = k$

Schritt einblenden / ausblenden

$\Rightarrow$ $x = \sqrt{k}$

Die $x$ -Koordinate des Schnittpunktes ist $x_{S} = \sqrt{k}$ .

Bestimmen der $y$ -Koordinate:

Schritt einblenden / ausblenden

$y_{S} = \ln (\frac{k + 1}{\sqrt{k}})$

Der Schnittpunkt beider Graphen ist $S_{k} (\sqrt{k} | \ln (\frac{k + 1}{\sqrt{k}}))$ .

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