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Abitur 2001 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I
Gegeben ist die Schar der Funktionen mit und Definitionsmenge . Der Graph von wird mit bezeichnet.
Teilaufgabe 1a (2 BE)
Bestimmen Sie das Verhalten von an den Rändern von .
Teilaufgabe 1b (6 BE)
Bestätigen Sie, dass gilt: .
Ermitteln Sie Art und Lage des Extrempunkts von .
Ermitteln Sie Art und Lage des Extrempunkts von .
Teilaufgabe 1c (4 BE)
Berechnen Sie für die Koordinaten des Schnittpunktes von und in Abhängigkeit von k.
[Teilergebnis: ]
[Teilergebnis: ]
Teilaufgabe 1d (5 BE)
Zeichnen Sie die Graphen G1 und G4. Berechnen Sie dazu die Funktionswerte an geeigneten Stellen und berücksichtigen Sie alle bisherigen Ergebnisse.
Teilaufgabe 2a (3 BE)
Zeigen Sie, dass gilt: aus Teilaufgabe 1c).
Teilaufgabe 2b (6 BE)
Die Tangenten an die Graphen im Punkt begrenzen zusammen mit der x-Achse ein Dreieck. Begründen Sie, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist. Berechnen Sie für k = 4 die Innenwinkel des Dreiecks (auf eine Dezimale gerundet).
Für gilt die Ungleichungskette:
(Nachweis nicht erforderlich).
(Nachweis nicht erforderlich).
Teilaufgabe 3a (6 BE)
Der Graph , die Koordinatenachsen und die Gerade mit der Gleichung x = 1 begrenzen ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück J. Zeigen Sie mit Hilfe obiger Ungleichungskette, dass J einen endlichen Inhalt hat, dessen Wert in [1; 2ln2] liegt.
(Hinweis: kann ohne Nachweis verwendet werden.)
(Hinweis: kann ohne Nachweis verwendet werden.)
Teilaufgabe 3b (6 BE)
Gegeben ist die Integralfunktion mit . Der Graph von wird mit bezeichnet.
In einer der folgenden Diagramme ist richtig gezeichnet. Geben Sie für jedes der anderen Diagramme einen Grund an, warum es sich nicht um handeln kann.
In einer der folgenden Diagramme ist richtig gezeichnet. Geben Sie für jedes der anderen Diagramme einen Grund an, warum es sich nicht um handeln kann.



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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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