Abitur 2001 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

Gegeben ist die Schar der Funktionen

f_{k} : x \to \ln (\frac{x}{k} + \frac{k}{x})

mit

k \in ℝ^{+}

und Definitionsmenge

D_{k} = ℝ^{+}

. Der Graph von

f_{k}

wird mit

G_{k}

bezeichnet.

Teilaufgabe 1a (2 BE)

Bestimmen Sie das Verhalten von

f_{k}

an den Rändern von

D_{k}

Teilaufgabe 1b (6 BE)

Bestätigen Sie, dass gilt:

f_{k}^{'} (x) = \frac{x^{2} - k^{2}}{x \cdot (x^{2} + k^{2})}

.
Ermitteln Sie Art und Lage des Extrempunkts von

G_{k}

Teilaufgabe 1c (4 BE)

Berechnen Sie für

k \neq 1

die Koordinaten des Schnittpunktes

S_{k} (x_{S} | y_{S})

von

G_{1}

und

G_{k}

in Abhängigkeit von k.
[Teilergebnis:

x_{S} = \sqrt{k}

]

Teilaufgabe 1d (5 BE)

Zeichnen Sie die Graphen G1 und G4. Berechnen Sie dazu die Funktionswerte an geeigneten Stellen und berücksichtigen Sie alle bisherigen Ergebnisse.

Teilaufgabe 2a (3 BE)

Zeigen Sie, dass gilt:

f_{1}^{'} (x_{S}) + f_{k}^{'} (x_{S}) = 0 (mit x_{S}

aus Teilaufgabe 1c).

Teilaufgabe 2b (6 BE)

Die Tangenten

t_{1} und t_{k}

an die Graphen

G_{1} und G_{k}

im Punkt

S_{k}

begrenzen zusammen mit der x-Achse ein Dreieck. Begründen Sie, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist. Berechnen Sie für k = 4 die Innenwinkel des Dreiecks (auf eine Dezimale gerundet).

Für

x \in] 0; 1]

gilt die Ungleichungskette:

- \ln x \leq f_{1} (x) \leq \ln (x + 1) - \ln x

(Nachweis nicht erforderlich).

Teilaufgabe 3a (6 BE)

Der Graph

G_{1}

, die Koordinatenachsen und die Gerade mit der Gleichung x = 1 begrenzen ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück J. Zeigen Sie mit Hilfe obiger Ungleichungskette, dass J einen endlichen Inhalt hat, dessen Wert in [1; 2ln2] liegt.
(Hinweis: