Lösung Abitur Bayern 2001 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2a (7 BE)

Q ist die senkrechte Projektion von P auf die

x_{1} x_{2}

-Ebene. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes S auf der Geraden s so, dass das Dreieck PQS minimalen Flächeninhalt hat. Tragen Sie das Dreieck in die Zeichnung aus Aufgabe 1c ein. [Zur Kontrolle: S(11,2|12,4|0)]

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Flächeninhalt eines Dreiecks

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Q: senkrechte Projektion von P in die

x_{2} x_{2}

-Ebene:

Schritt einblenden / ausblenden

Projektion eines Punktes in eine Ebene

Projektion in die

x_{1} x_{2}

-Ebene:

x_{3} = 0

\Rightarrow Q : (8 | 6 | 0)

PQS soll minimalen Flächeninhalt haben:

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Dreiecks

F_{Δ} = \frac{1}{2} · g · h

mit g:Grundseite und h: Höhe

Dreieckshöhe:

h = \overline{PQ}

ist konstant.

F_{Δ}

ist minimal

\Rightarrow

Grundseite ist minimal.

Die minimale Grundseite ist der Abstand von Q zur Geraden s.

Schritt einblenden / ausblenden

Abstand Punkt - Gerade

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Hilfsebene F:

{\vec{n}}_{F} = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})

F : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) - A = 0

Schritt einblenden / ausblenden

(\begin{matrix} 8 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) - A = 0

\Rightarrow A = 10

\Rightarrow F : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) - 10 = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Schnitt Ebene und Gerade

Einsetzen des

\vec{x}

der Geradengleichung für das

\vec{x}

der Ebenengleichung:

F \cap s :

((\begin{matrix} 8 \\ 14 \\ 0 \end{matrix}) + σ (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) = 10

\Rightarrow 2 + 5 · σ = 10

\Rightarrow σ = \frac{8}{5}

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

Einsetzen von

σ

in die Gleichung von s:

\vec{OS}

= (\begin{matrix} 8 \\ 14 \\ 0 \end{matrix}) + \frac{8}{5} (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})

= (\begin{matrix} \frac{56}{5} \\ \frac{62}{5} \\ 0 \end{matrix})

Der gesuchte Punkt ist

S (\frac{56}{5} | \frac{62}{5} | 0)

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Lösungen zu:

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Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Flächeninhalt eines Dreiecks

Abstand Punkt - Gerade

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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