Abitur 2018 Mathematik NT Stochastik S II

Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

Bei einem internationalen Fußballwettbewerb überlegt der Veranstalter schon im Vorfeld, aus welchen Gruppen sich die Besucher in den Stadien zusammensetzen. Man rechnet mit

60 %

fanatische Anhänger

(F)

der jeweiligen Mannschaften. Die restlichen Besucher sind neutral

(N)

. Die Hälfte aller Personen in den Stadien wird wohl Alkohol trinken

(A)

. Ohne Alkoholgenuss geht man bei

2 %

der Besucher von einer gewissen Gewaltbereitschaft

(G)

aus. Durch Alkoholgenuss verfünffacht sich diese Wahrscheinlichkeit.
Zu welcher der verschiedenen Kategorien eine beliebig herausgegriffene Person im Stadion zählt, wird als Zufallsexperiment aufgefasst.
Sowohl der Alkoholgenuss als auch die Gewaltbereitschaft sind unabhängig von der Gruppenzugehörigkeit zu den Gruppen

F

oder

N

Teilaufgabe 1.1 (5 BE)

Ermitteln Sie mithilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse.

Teilaufgabe 1.2 (5 BE)

Es werden folgende Ereignisse definiert:

E_{1}

: „Ein zufällig ausgewählter Besucher trinkt keinen Alkohol.“

E_{2}

: „Die Person ist fanatisch und friedlich oder neutral und gewaltbereit.“

Geben Sie diese Ereignisse in aufzählender Mengenschreibweise an und prüfen Sie sie auf stochastische Unabhängigkeit.

Teilaufgabe 1.3 (2 BE)

Geben Sie in Mengenschreibweise ein Ereignis

E_{3}

an, das unvereinbar mit

E_{1}

ist und dessen Wahrscheinlichkeit

42 %

von

P (E_{1})

beträgt.

Teilaufgabe 2 (5 BE)

Während der gesamten Spiele sind 400 Fußballer im Einsatz.

80 %

von ihnen werden erfahrungsgemäß in Zweikämpfen in regelwidrigen Körperkontakt mit dem Gegner kommen

(K)

. 180 Spieler bekommen eine gelbe Karte als Verwarnung

(V)

, zwei Drittel davon im Zusammenhang mit einem unerlaubten Körperkontakt.
Stellen Sie für den beschriebenen Sachverhalt eine vollständige Vierfeldertafel auf, bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

E_{4} = \bar{K \cup \bar{V}}

und interpretieren Sie

E_{4}

im Sinne der vorliegenden Thematik.

Die Zufallsgröße

X

gibt die Tordifferenz bei den Spielergebnissen im Turnier an. Unter Vernachlässigung von Tordifferenzen größer als fünf ergibt sich mit den Parametern

a, b \in ℝ

folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:

Teilaufgabe 3.1 (7 BE)

Berechnen Sie die Parameter

a

und

b

, wenn

P (X \leq 2) = 0, 84

gilt, und stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung in einem Histogramm dar.

[Teilergebnis : a = 0, 14]

Teilaufgabe 3.2 (5 BE)

Berechnen Sie mit den Werten für

a

und

b

aus Aufgabe 3.1, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallswerte von

X

innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegen.

Teilaufgabe 4 (4 BE)

Beim Elfmeterschießen erzielen die Spieler mit einer Wahrscheinlichkeit von

p = 0, 75

tatsächlich ein Tor. Es werden nun 10 Elfmeter betrachtet.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

E_{5}

: „Mehr als

3

, aber weniger als

8

Schützen erzielen ein Tor.“

E_{6}

: „Nur die ersten

4

oder nur die letzten

4

Elfmeter ergeben ein Tor.“

Die Fehlerquote bei Entscheidungen der eingesetzten Schiedsrichter soll höchstens

12, 5 %

betragen. Bei einem der jüngeren Schiedsrichter vermutet man aber einen höheren Anteil (Gegenhypothese). In nächster Zeit werden deshalb

200

seiner Entscheidungen auf Fehler hin untersucht.

Teilaufgabe 5.1 (5 BE)

Geben Sie zu diesem Test Testgröße und Nullhypothese an und ermitteln Sie den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf dem

5 %

-Niveau.

Teilaufgabe 5.2 (2 BE)

Erläutern Sie im Sachzusammenhang, worin bei diesem Test der Fehler 2. Art besteht.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1.1

Teilaufgabe 1.2

Teilaufgabe 1.3

Teilaufgabe 2

Teilaufgabe 3.1

Teilaufgabe 3.2

Teilaufgabe 4

Teilaufgabe 5.1

Teilaufgabe 5.2

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