Lösung Abitur Bayern 2021 Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 2d (6 BE)

Es wird das Flächenstück zwischen

G_{g}

und der x-Achse im Bereich

- \ln 3 \leq x \leq b

mit

b \in ℝ^{+}

betrachtet. Bestimmen Sie den Wert von

b

so, dass die y-Achse dieses Flächenstück halbiert.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 2d

Flächenberechnung

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Flächeninhalt bis zur y-Achse:

Schritt einblenden / ausblenden

Bestimmtes Integral

Die Fläche die

G_{g}

mit der x-Achse zwischen

- \ln 3

und

0

einschließt, ist gegeben durch das bestimmte Integral:

A = \int_{- \ln 3}^{0} \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} dx

A = \int_{- \ln 3}^{0} \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} dx

Schritt einblenden / ausblenden

Logarithmisches Integrieren

Ist

g

eine Funktion der Form

g (x) = \frac{h^{'} (x)}{h (x)}

, so gilt:

\int g (x) dx = \ln | h (x) |

Hier ist

h (x) = e^{x} + 1

und

h^{'} (x) = e^{x}

(Erinnerung: die Ableitung der Exponentialfunktion

e^{x}

ist die Funktion selbst).

A = {[\ln | e^{x} + 1 |]}_{- \ln 3}^{0}

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) dx = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

A = \ln | e^{0} + 1 | - \ln | e^{- \ln 3} + 1 |

Schritt einblenden / ausblenden

Potenzregel

Regel:

a^{- r} = \frac{1}{a^{r}}

\Rightarrow

e^{- \ln 3} = \frac{1}{e^{\ln 3}} = \frac{1}{3}

\Rightarrow

A = \ln 2 - \ln (\frac{1}{3} + 1) = \ln 2 - \ln \frac{4}{3}

A = \ln 2 - \ln \frac{4}{3}

Schritt einblenden / ausblenden

Rechnen mit Logarithmen

Logarithmus eines Quotienten / Differenzvon Logarithmen:

\ln (\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b

\ln 2 - \ln \frac{4}{3} = \ln \frac{2}{\frac{4}{3}} = \ln (2 \cdot \frac{3}{4}) = \ln \frac{3}{2}

A = \ln \frac{3}{2}

Es soll also gelten:

\int_{0}^{b} \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} dx = \ln \frac{3}{2}

{[\ln | e^{x} + 1 |]}_{0}^{b} = \ln \frac{3}{2}

\ln | e^{b} + 1 | - \ln | e^{0} + 1 | = \ln \frac{3}{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

e^{b} + 1 > 0

fallen die Betragsstriche aus

\ln | e^{b} + 1 |

weg.

\ln (e^{b} + 1) - \ln 2 = \ln \frac{3}{2}

| + \ln 2

\ln (e^{b} + 1) = \ln \frac{3}{2} + \ln 2

Schritt einblenden / ausblenden

Rechnen mit Logarithmen

Logarithmus eines Produkts/ Summe von Logarithmen:

\ln (a \cdot b) = \ln a + \ln b

\ln \frac{3}{2} + \ln 2 = \ln (\frac{3}{2} \cdot 2) = \ln 3

\ln (e^{b} + 1) = \ln 3

| e^{x}

e^{b} + 1 = 3

e^{b} = 2

| \ln x

b = \ln 2

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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