Lösung Abitur Bayern 2021 Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 1a (2 BE)

Gegeben ist die in

ℝ

definierte Funktion

f : x \mapsto (1 - x^{2}) \cdot e^{- x}

. Die Abbildung zeigt den Graphen

G_{f}

von

f

Zeigen Sie, dass

f

genau zwei Nullstellen besitzt.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1a

Nullstellen einer Funktion

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f (x) = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Nullstellen

Der Ansatz, um die Nullstellen (die Schnittpunkte einer Funktion

f

mit der

x

-Achse) zu bestimmen, lautet stets:

f (x) = 0

Die Gleichung muss anschließend nach

x

aufgelöst werden.

0 = (1 - x^{2}) \underset{> 0}{\underset{︸}{\cdot e^{- x}}}

Schritt einblenden / ausblenden

Produkt gleich Null setzen

Das Produkt zweier Terme

a

und

b

ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Terme Null ist:

a \cdot b = 0

\Leftrightarrow

a = 0

und/oder

b = 0

Alle Terme werden einzeln untersucht.

Da

e^{- x} > 0

für alle

x \in ℝ

, muss nur der Term

1 - x^{2}

untersucht werden.

1 - x^{2} = 0

\Rightarrow

x^{2} = 1

\Rightarrow

x_{1} = 1

;

x_{2} = - 1

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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