Lösung Abitur Bayern 2021 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B d (4 BE)

Ein auf einer Stange montierter Brunnen besteht aus einer Marmorkugel, die in einer Bronzeschale liegt. Die Marmorkugel berührt die vier Innenwände der Bronzeschale an jeweils genau einer Stelle. Die Bronzeschale wird im Modell durch die Seitenflächen der Pyramide

ABCDS

beschrieben, die Marmorkugel durch eine Kugel mit Mittelpunkt

M (0 | 0 | 4)

und Radius

r

. Die

x_{1} x_{2}

-Ebene des Koordinatensystems stellt im Modell den horizontal verlaufenden Erdboden dar; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.

Ermitteln Sie den Durchmesser der Marmorkugel auf Zentimeter genau.

(zur Kontrolle:

r = \sqrt{6}

)

Lösung zu Teilaufgabe Teil B d

Abstand Punkt - Ebene

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M (0 | 0 | 4)

F : x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} + 2 = 0

(s. Teilaufgabe Teil B b)

\vec{n_{F}} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})

Normalenvektor der Ebene

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{n_{F}} | = | (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + (- 2)^{2}} = \sqrt{6}

Schritt einblenden / ausblenden

Hesse-Normalenform der Ebene

Die Hesse-Normalenform

E^{HNF}

einer Ebene

E

entsteht durch Teilung der Normalenform der Ebene

E

mit dem Betrag des Normalenvektors

| \vec{n_{E}} |

.

Beispiel:

E : x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 4 = 0

\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

\Rightarrow

| \vec{n_{E}} | = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3

E^{HNF} : \frac{1}{3} \cdot (x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 4) = 0

F^{HNF} : \frac{x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} + 2}{\sqrt{6}} = 0

Abstand bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Abstand Punkt - Ebene

Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes

P

in die Hesse-Normalenform

E^{HNF}

der Ebene

E

(zwischen Betragsstriche), bestimmt man den Abstand

d (P, E)

des Punktes zur Ebene.

Beispiel:

E^{HNF} : \frac{1}{3} \cdot (x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 4) = 0

P (1 | 3 | - 6)

d (P, E) = | \frac{1}{3} \cdot (1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot (- 6) - 4) | = | - \frac{9}{3} | = 3

r = d (M, F) = | \frac{0 + 0 - 2 \cdot 4 + 2}{\sqrt{6}} | = | \frac{- 6}{\sqrt{6}} | = \frac{6}{\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}

Durchmesser:

2 \cdot \sqrt{6} \approx 48, 99 cm

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Themen dieser Aufgabe:

Abstand Punkt - Ebene

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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