Lösung Abitur Bayern 2021 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B c (2 BE)

Berechnen Sie das Volumen

V

der Pyramide

ABCDS

.

(zur Kontrolle:

V = 72

)

Lösung zu Teilaufgabe Teil B c

Volumen einer Pyramide

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\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 4 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 6 \\ 6 \\ 0 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{A B} | = | (\begin{matrix} - 6 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}) | = \sqrt{(- 6)^{2} + 6^{2} + 0} = \sqrt{72}

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen einer Pyramide

Eine Pyramide mit Grundfläche

G

und Höhe

h

hat ein Volumen von:

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

V_{ABCDS} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Grundfläche der Pyramide ist ein Quadrat mit Seitenfläche

\bar{A B}

.

Die Höhe der Pyramide entspricht dem Abstand des Punktes

S

zur Ebene

E

. Da diese parallel zur

x_{1} x_{2}

-Ebene verläuft und der Punkt

S

auf der

x_{3}

-Achse liegt, entspricht die Höhe der Differenz zwischen den

x_{3}

-Koordinaten von

A

(oder eines beliebig anderen Punktes der Ebene

E

) und

S

h = x_{3_{A}} - x_{3_{S}} = 4 - 1 = 3

V_{ABCDS} = \frac{1}{3} \cdot {\bar{A B}}^{2} \cdot 3

V_{ABCDS} = \frac{1}{3} \cdot {(\sqrt{72})}^{2} \cdot 3 = 72

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Themen dieser Aufgabe:

Volumen einer Pyramide

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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