Lösung Abitur Bayern 2021 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil A a (4 BE)

Gegeben ist die Gerade

g : \vec{X} = (\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

λ \in ℝ

, sowie eine weitere Gerade

h

, welche parallel zu

g

ist und durch den Punkt

A (2 | 0 | 0)

verläuft. Der Punkt

B

liegt auf

g

so, dass die Geraden

AB

und

h

senkrecht zueinander sind.

Bestimmen Sie die Koordinaten von

B

.

(zur Kontrolle:

B (- 2 | 3 | 2)

)

Lösung zu Teilaufgabe Teil A a

Ebenengleichung in Normalenform

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Hilfsebene

H

senkrecht zu

h

durch

A

bilden:

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt

P

aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E : \vec{n_{E}} \circ \vec{X} = \vec{n_{E}} \circ \vec{P}

Hier (

A

ist Aufpunkt):

H : \underset{\vec{{RV}_{g}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})}} \circ \vec{X} = (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) \circ \underset{\vec{A}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})}}

H : 3 x_{1} + 4 x_{2} = 6

Schnitt Ebene und Gerade

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Ebene

H

mit Gerade

g

schneiden:

H \cap g

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

Schneidet eine Gerade

g : \vec{X} = \vec{Q} + λ \cdot \vec{v}

eine Ebene

E

in einem Punkt

P

, dann erfüllt die Geradengleichung für ein bestimmten Wert von

λ

(von

g

) die Normalenform der Ebene

E

.

Man setzt

g

E

ein und löst nach

λ

auf.

Hier wird also

g

in die

H

eingesetzt und nach

λ

aufgelöst.

3 (1 + 3 λ) + 4 (7 + 4 λ) = 6

3 + 9 λ + 28 + 16 λ = 6

25 λ = - 25

λ = - 1

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

λ = - 1

wird in die Geradengleichung der Geraden eingesetzt.

\vec{B} = (\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{matrix}) + (- 1) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})

\Rightarrow

B (- 2 | 3 | 2)

Alternative Lösung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Schritt einblenden / ausblenden

Lage des Punktes

Der Punkt

B

liegt auf der Geraden

g

und erfüllt somit für ein bestimmtes

λ

die Geradengleichung.

B (1 + 3 λ | 7 + 4 λ | 2)

\vec{A B} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{matrix} 1 + 3 λ \\ 7 + 4 λ \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 + 3 λ \\ 7 + 4 λ \\ 2 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

(\begin{matrix} - 1 + 3 λ \\ 7 + 4 λ \\ 2 \end{matrix}) \circ \underset{\vec{{RV}_{g}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})}} = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

und

\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})

ergibt sich aus der Summe der Produkte der Komponenten der Vektoren.

\vec{a} \circ \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} + a_{3} \cdot b_{3}

- 3 + 9 λ + 28 + 16 λ = 0

25 λ + 25 = 0

λ = - 1

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

λ = - 1

wird in

B (1 + 3 λ | 7 + 4 λ | 2)

eingesetzt.

\Rightarrow

B (- 2 | 3 | 2)

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil A a

Teilaufgabe Teil A b

Teilaufgabe Teil B a

Teilaufgabe Teil B b

Teilaufgabe Teil B c

Teilaufgabe Teil B d

Teilaufgabe Teil B e

Teilaufgabe Teil B f

Teilaufgabe Teil B g

Teilaufgabe Teil B h

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Ebenengleichung in Normalenform

Schnitt Ebene und Gerade

Alternative Lösung

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!