Lösung Abitur Bayern 2020 Mathematik Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 3a (4 BE)

Beim Torwandschießen treten zwei Schützen gegeneinander an. Zunächst gibt der eine sechs Schüsse ab, anschließend der andere. Wer dabei mehr Treffer erzielt, hat gewonnen; andernfalls geht das Torwandschießen unentschieden aus.

Joe trifft beim Torwandschießen bei jedem Schuss mit einer Wahrscheinlichkeit von

20 %

, Hans mit einer Wahrscheinlichkeit von

30 %

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Joe beim Torwandschießen gegen Hans gewinnt, wenn Hans bei seinen sechs Schüssen genau zwei Treffer erzielt hat. Erläutern Sie anhand einer konkreten Spielsituation, dass das dieser Aufgabe zugrunde gelegte mathematische Modell im Allgemeinen nicht der Realität entspricht.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 3a

Binomialverteilung

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E

: "Joe gewinnt, wenn Hans genau zwei Treffer erzielt"

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Bernoulli-Kette

Ein Zufallsexperiment mit zwei möglichen Ausgängen (Treffer, Niete) nennt man Bernoulli-Experiment.

\begin{matrix} p & Wahrscheinlichkeit für einen Treffer & hier : p = 0, 2 \\ q = 1 - p & Wahrscheinlichkeit für eine Niete & hier : q = 0, 8 \end{matrix}

Bei mehrmaligem Ziehen in einem Bernoulli-Experiment spricht man von einer Bernoulli-Kette.

\begin{matrix} n & Anzahl der Züge ("Länge" der Bernoulli-Kette) & hier : n = 6 \end{matrix}

Bernoulli-Kette der Länge

n = 6

mit der Trefferwahrscheinlichkeit

p = P ("Joe trifft") = 20 % = 0, 2

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P (E) = P_{0, 2}^{6} (X \geq 3)

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Gegenereignis

Betrachtung des Gegenereignisses:

P ("mindestens k Treffer") = 1 - P ("höchsten k-1 Treffer")

In mathematischen Zeichen:

P (X \geq k) = 1 - P (X \leq k - 1)

P (E) = 1 - P_{0, 2}^{6} (X \leq 2) \overset{TW}{=} 1 - 0, 9011 = 0, 0989 \approx 9, 9 %

Es wird modellhaft von einer konstanten Trefferwahrscheinlichkeit ausgegangen. Trifft Joe jedoch bei keinem der ersten drei Schüssse, so hat er möglicherweise aufgrund zunehmender Nervosität bei den nächsten Schüssen eine geringere Trefferwahrscheinlichkeit.

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Themen dieser Aufgabe:

Binomialverteilung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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