Abitur 2018 Mathematik Stochastik IV

Anlässlich einer Studie wurden

300

weibliche und

700

männliche Bewohner einer Großstadt im Alter von 18 bis 30 Jahren dazu befragt, ob sie Interesse an Car-Sharing haben.

20 %

der Befragten waren weiblich und gaben an, nicht interessiert zu sein.

8 %

der Befragten waren männlich und gaben an, Interesse an Car-Sharing zu haben. Das Kreisdiagramm veranschaulicht die absoluten Häufigkeiten, die sich bei der Befragung ergaben.

Teilaufgabe Teil A 1a (4 BE)

Ordnen Sie die Beschriftungen 1 bis 4 den Sektoren A bis D korrekt zu und begründen Sie Ihre Zuordnung.

Teilaufgabe Teil A 1b (1 BE)

Berechnen Sie die Größe des Mittelpunktswinkels desjenigen Sektors, der den Anteil der Befragten veranschaulicht, die männlich waren und angaben, Interesse an Car-Sharing zu haben.

Das abgebildete Baumdiagramm stellt ein zweistufiges Zufallsexperiment mit den Ereignissen

A

und

B

sowie deren Gegenereignissen

\bar{A}

und

\bar{B}

dar.

Teilaufgabe Teil A 2a (2 BE)

Bestimmen Sie den Wert von

p

so, dass das Ereignis

B

bei diesem Zufallsexperiment mit der Wahrscheinlichkeit

0, 3

eintritt.

Teilaufgabe Teil A 2b (3 BE)

Ermitteln Sie den größtmöglichen Wert, den die Wahrscheinlichkeit von

B

annehmen kann.

Ein Unternehmen stellt Kunststoffteile her. Erfahrungsgemäß sind

4 %

der hergestellten Teile fehlerhaft. Die Anzahl fehlerhafter Teile unter zufällig ausgewählten kann als binomialverteilt angenommen werden.

Teilaufgabe Teil B 1a (3 BE)

50

Kunststoffteile werden zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:

A

: "Genau zwei der Teile sind fehlerhaft."

B

: "Mindestens

6 %

der Teile sind fehlerhaft."

Die Kunststoffteile werden aus Kunststoffgranulat hergestellt. Nach einem Wechsel des Granulats vermutet der Produktionsleiter, dass sich der Anteil der fehlerhaften Teile reduziert hat. Um einen Anhaltspunkt dafür zu gewinnen, ob die Vermutung gerechtfertigt ist, soll die Nullhypothese "Der Anteil der fehlerhaften Teile beträgt mindestens

4 %

." auf der Grundlage einer Stichprobe von

200

Teilen auf einem Signifikanzniveau von

5 %

getestet werden.

Teilaufgabe Teil B 1b (4 BE)

Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.

Teilaufgabe Teil B 1c (3 BE)

Das neue Granulat ist teurer als das vorherige. Geben Sie an, welche Überlegung zur Wahl der Nullhypothese geführt haben könnte, und begründen Sie Ihre Angabe.

Für ein Spiel wird ein Glücksrad verwendet, das drei farbige Sektoren hat. Der Tabelle können die Farben der Sektoren und die Größen der zugehörigen Mittelpunktswinkel entnommen werden.

Für einen Einsatz von 5 Euro darf ein Spieler das Glücksrad dreimal drehen. Erzielt der Spieler dreimal die gleiche Farbe, werden ihm 10 Euro ausgezahlt. Erzielt er drei verschiedene Farben, wird ein anderer Betrag ausgezahlt. In allen anderen Fällen erfolgt keine Auszahlung.

Teilaufgabe Teil B 2a (2 BE)

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dreimal die gleiche Farbe erzielt wird, ist

\frac{1}{6}

. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass drei verschiedene Farben erzielt werden, ebenfalls

\frac{1}{6}

beträgt.

Teilaufgabe Teil B 2b (3 BE)

Bei dem Spiel ist zu erwarten, dass sich die Einsätze der Spieler und die Auszahlungen auf lange Sicht ausgleichen. Berechnen Sie den Betrag, der ausgezahlt wird, wenn drei verschiedene Farben erscheinen.

Teilaufgabe Teil B 2c (5 BE)

Die Größen der Sektoren werden geändert. Dabei werden der grüne und der rote Sektor verkleinert, wobei der Mittelpunktswinkel des roten Sektors wieder doppelt so groß wie der des grünen Sektors ist. Die Abbildung zeigt einen Teil eines Baumdiagramms, das für das geänderte Glücksrad die beiden ersten Drehungen beschreibt. Ergänzend ist für einen
Pfad die zugehörige Wahrscheinlichkeit angegeben.