Lösung Abitur Bayern 2018 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B f (5 BE)

Die untere Netzkante berührt die Plattform 2 an der Seite, die durch die Strecke

[R T]

dargestellt wird. Betrachtet wird der untere Eckpunkt des Netzes, der oberhalb der Plattform 2 befestigt ist. Im Modell hat dieser Eckpunkt die Koordinaten

(5 | 10 | h)

mit einer reellen Zahl

h > 3

. Die untere Netzkante liegt auf der Geraden

g : \vec{X} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 10 \\ h - 2 \end{matrix})

λ \in ℝ

.
Berechnen Sie den Abstand des betrachteten Eckpunkts von der Plattform 2.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B f

Geradengleichung aufstellen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

R (5 | 7 | 3)

T (2 | 10 | 3)

Richtungsvektor der Geraden

R T

\vec{R T} = \vec{T} - \vec{R} = (\begin{matrix} 2 \\ 10 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 5 \\ 7 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Geradengleichung

Eine Gerade

g

ist durch einen Ortsvektor

\vec{P}

und einen Richtungsvektor

\vec{v}

eindeutig bestimmt:

g : \vec{X} = \vec{P} + μ \cdot \vec{v}

μ \in ℝ

Wenn

R

als Aufpunkt genommen wird, dann ist

\vec{R}

der Ortsvektor (des Aufpunkts) der Geraden

R T

R T : \vec{X} = \underset{\vec{R}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 5 \\ 7 \\ 3 \end{matrix})}} + μ \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})

Schnitt zweier Geraden

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Gerade

R T

und

g

schneiden:

R T \cap g

Schritt einblenden / ausblenden

(\begin{matrix} 5 \\ 7 \\ 3 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 5 \\ 10 \\ h - 2 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Rechenweg

Der Vektor

(\begin{matrix} 5 \\ 7 \\ 3 \end{matrix})

wird auf die rechte und der Term

λ (\begin{matrix} 5 \\ 10 \\ h - 2 \end{matrix})

auf die linke Seite gebracht.

μ \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) - λ (\begin{matrix} 5 \\ 10 \\ h - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 5 \\ - 7 \\ - 1 \end{matrix})

\Leftrightarrow

\begin{matrix} I. & - 3 μ - 5 λ & = & - 5 \\ II. & 3 μ - 10 λ & = & - 7 \\ III. & - λ (h - 2) & = & - 1 \end{matrix}

I + II

- 15 λ = - 12

\Rightarrow

λ = \frac{4}{5}

λ

III

- \frac{4}{5} (h - 2) = - 1

\Rightarrow

h - 2 = \frac{5}{4}

\Rightarrow

h = 3, 25

Abstand:

3, 25 - 3 = 0, 25 m

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Themen dieser Aufgabe:

Geradengleichung aufstellen

Schnitt zweier Geraden

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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