Lösung Abitur Bayern 2017 Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 1a (3 BE)

Gegeben ist die Funktion

f

mit

f (x) = 2 e^{- x} \cdot (2 e^{- x} - 1)

und

x \in ℝ

.
Abbildung 1 zeigt den Graphen

G_{f}

von

f

sowie die einzige Nullstelle

x = \ln 2

von

f

Zeigen Sie, dass für den Term der Ableitungsfunktion

f^{'}

von

f

gilt:

f^{'} (x) = 2 e^{- x} \cdot (1 - 4 e^{- x})

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1a

Erste Ableitung einer Funktion ermittlen

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f (x) = 2 e^{- x} \cdot (2 e^{- x} - 1)

(ausmultiplizieren)

f (x) = 4 e^{- 2 x} - 2 e^{- x}

Schritt einblenden / ausblenden

Kettenregel der Differenzialrechnung

Kettenregel für Exponentialfunktionen:

f (x) = e^{g (x)}

\Rightarrow

f^{'} (x) = e^{g (x)} \cdot g^{'} (x)

f^{'} (x) = 4 e^{- 2 x} \cdot (- 2) - 2 e^{- x} \cdot (- 1)

f^{'} (x) = - 8 e^{- 2 x} + 2 e^{- x}

| 2 e^{- x}

ausklammern

f^{'} (x) = 2 e^{- x} \cdot (1 - 4 e^{- x})

Alternative Lösung

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Altenativer Rechenweg (Ableitung mit Produktregel):

f^{'} (x) = 2 e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (2 e^{- x} - 1) + 2 e^{- x} \cdot (2 e^{- x}) \cdot (- 1)

f^{'} (x) = 2 e^{- x} \cdot (- 2 e^{- x} + 1 - 2 e^{- x})

f^{'} (x) = 2 e^{- x} \cdot (1 - 4 e^{- x})

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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