Lösung Abitur Bayern 2016 Mathematik Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 3a (4 BE)

Ein Pharmaunternehmen hat einen Hauttest zum Nachweis einer Tierhaarallergie entwickelt. Im Rahmen einer klinischen Studie zeigt sich, dass der Hauttest bei einer aus der Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählten Person mit einer Wahrscheinlichkeit von

39, 5 %

ein positives Testergebnis liefert. Leidet eine Person an einer Tierhaarallergie, so ist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von

85 %

positiv. Das Testergebnis ist jedoch bei einer Person, die nicht an einer Tierhaarallergie leidet, mit einer Wahrscheinlichkeit von

35 %

ebenfalls positiv.

Ermitteln Sie, welcher Anteil der Bevölkerung Deutschlands demnach allergisch auf Tierhaare reagiert.

(Ergebnis:

9 %

)

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 3a

Wahrscheinlichkeit

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Ereignisse:

T

: "Person leidet an Tierallergie"

P

: "Test ist positiv"

Wahrscheinlichkeiten aus dem Text:

P (P) = 0, 395

P_{T} (P) = 0, 85

P_{\bar{T}} (P) = 0, 35

Baudiagramm erstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit

P (T)

ist unbekannt, deswegen wird sie mit

x

bezeichnet. Für die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses gilt dann

P (\bar{T}) = 1 - x

Schritt einblenden / ausblenden

2. Pfadregel

1. Pfadregel: In einem Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades.

Zum Beispiel:

P (T \cap P) = P (T) \cdot P_{T} (P) = x \cdot 0, 85

2. Pfadregel: In einem Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich der Summe der für dieses Ereignis zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten.

In diesem Fall:

P (P) = P (T \cap P) + P (\bar{T} \cap P)

P (P) = P (T \cap P) + P (\bar{T} \cap P)

0, 395 = x \cdot 0, 85 + (1 - x) \cdot 0, 35

0, 395 = 0, 85 x - 0, 35 x + 0, 35

0, 045 = 0, 5 x

x = 0, 09

\Rightarrow

P (T) = 9 %

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Wahrscheinlichkeit

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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